Question

Cho ΔABC vuông tại A, vẽ hai đường phân giác BM, CN tương ứng của ∠B và ∠C. Từ M và N kẻ MD ⊥ BC, NE ⊥ BC. Chứng minh ∠DAE = 45 độ

Answer 1

Xét \(\Delta\)BMA và \(\Delta\)BMD có:

BAM=BDM (=90^o)

BM: chung

ABM=DBM (BM: phân giác ABD)

\(\Rightarrow\)\(\Delta\)BMA=\(\Delta\)BMD (ch-gn)

\(\Rightarrow\)MA=MD (2 cạnh tương ứng)

\(\Rightarrow\Delta\)DMA cân tại M

Gọi I là giao điểm của BM và AD

Xét \(\Delta\)IMA và \(\Delta\)IMD có:

IMA=IMD (\(\Delta\)BMA=\(\Delta\)BMD)

MA=MD (\(\Delta\)DMA cân)

IAM=IDM (\(\Delta\)DMA cân tại M)

\(\Rightarrow\Delta\)IMA=\(\Delta\)IMD (g.c.g)

Xét \(\Delta\)CNE và \(\Delta\)CNA có:

CEN=CAN (=90^o)

CN: chung

NCE=NCA ( CN: phân giác ACE)

\(\Rightarrow\) \(\Delta\)CNE=\(\Delta\)CNA (ch-gn)

\(\Rightarrow\)NE=NA (2 cạnh tương ứng)

\(\Rightarrow\Delta\)ANE cân tại N

Gọi giao điểm của CN và AE là H

Xét \(\Delta\)HNE và \(\Delta\)HNA có:

HNE=HNA (\(\Delta\)CNE=\(\Delta\)CNA)

NE=NA (\(\Delta\)ANE cân tại N)
HEN=HAN (\(\Delta\)ANE cân tại N)

\(\Rightarrow\Delta\)HNE=\(\Delta\)HNA (g.c.g)

Ta có: 

AEN+AED=90^o (EN\(\perp\)BC)

ADM+ADE=90^o (MD\(\perp\)BC)

\(\Rightarrow\)AEN+AED+ADM+ADE=180^o (*)

Lại có:

NAE+EAD+DAM=90^o

Vì NAE=AEN (\(\Delta\)NHA=\(\Delta\)NHE), DAM=ADM (\(\Delta\)IMA=\(\Delta\)IMD)

\(\Rightarrow\)AEN+EAD+ADM=90^o (**)

Lấy (*) trừ cho (**)

\(\Rightarrow\)DEA+ADE-EAD=90^o

Mà DEA+ADE+EAD=180^o (định lí tổng ba góc \(\Delta\))

\(\Rightarrow\)(DEA+ADE+EAD)-(DEA+ADE-EAD)=90^o

\(\Rightarrow\)2EAD=90^o

\(\Rightarrow\)EAD=45^o (đpcm)