Question

Cho ΔABC nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác của góc BAC cắt (O) tại D. Tiếp tuyến tại D cắt (O) cắt 2 đường thẳng AB, AC lần lượt tại E và F. Chứng minh: AB.AF = AC. AE = AD²

Answer 1

Ta có: \(\widehat{CDF}=\widehat{CAD}\) (cùng chắn AD)

\(\widehat{CAD}=\widehat{BAD}\) (AD là phân giác)

\(\widehat{BAD}=\widehat{BCD}\) (cùng chắn BD)

\(\Rightarrow\widehat{CDF}=\widehat{BCD}\)

\(\Rightarrow BC||EF\) (hai góc so le trong bằng nhau)

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{AC}{AF}\Rightarrow AB.AF=AC.AE\)

Cũng từ BC song song EF \(\Rightarrow\widehat{ACB}=\widehat{AFD}\) (đồng vị)

Mà \(\widehat{ACB}=\widehat{ADB}\) (cùng chắn AB)

\(\Rightarrow\widehat{AFD}=\widehat{ADB}\)

Xét 2 tam giác AFD và ADB có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{FAD}=\widehat{DAB}\left(\text{AD là phân giác}\right)\\\widehat{AFD}=\widehat{ADB}\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)  \(\Rightarrow\Delta AFD\sim\Delta ADB\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AF}{AD}\Rightarrow AB.AF=AD^2\)

\(\Rightarrow AB.AF=AC.AE=AD^2\)

Answer 2