Question

Cho ΔABC cân tại A và hai đường trung tuyến BM, CN cắt nhau tại I.
a) Chứng minh ΔBNC = ΔCMB. Từ đó suy ra ΔBIC cân tại I.
b) Gọi K là trung điểm của BC. Chứng minh A, I, K thẳng hàng
c) Chứng minh BC < 4.IM
làm gấp hộ mình với ạ huhu

Answer 1

a. +) Tam giác ABC cân tại A:

    => góc B = góc C

    => AB = AC

    => AM + BM = AN + CN

    mà BM và CN là 2 đường trung tuyến của AB và AC

    => AM = BM = AN = CN

    Xét tam giác BNC và tam giác CMB:

  BM = CN (cmt)

  góc B = góc C (cmt)

  BC chung

 => tam giác BNC = tam giác CMB (c-g-c)

 +) Ta có: BM , CN là 2 đường trung tuyến của tam giác ABC, cắt nhau tại I

  => I là trọng tâm của tam giác ABC

  => BI = \(\dfrac{2}{3}BM\)

       CI = \(\dfrac{2}{3}CN\)

  mà BM = CN

 => BI = CI

 => tam giác BIC cân tại I (đpcm)

b. +)Xét tam giác AIB và tam giác AIC:

  AI chung

  AB = AC

  BI = CI

  => tam giác AIB = tam giác AIC (c-c-c)

 => góc BAI = góc CAI (2 góc tương ứng)

  => AI là tia phân giác góc A (1)

  +) Xét tam giác AKB và tam giác AKC:

   AK chung

   AB = AC

   BK = CK (vì K là trung điểm BC)

=> tam giác AKB = tam giác AKC (c-c-c)

  => AK là tia phân giác góc A (2)

 Từ (1) và (2) , suy ra:

  AI trùng AK

=> A, I, K thẳng hàng