Question

Cho đa thức f(x)=ax^3+bx^2+cx+d,với a,b,c,d\(\inℤ\).Biết rằng f(0),f(1) là những số lẻ. Chứng tỏ rằng đa thức f(x) không có nghiệm số nguyên

 

Answer 1

Làm hơi dài dòng tẹo nhé
f(0)=d là số lẻ
f(1)=a+b+c+d là số lẻ => a+b+c là số chẵn
Giả sử nghiệm x chẵn => f(x) lẻ khác 0 => loại
Giả sử nghiệm x lẻ
=> Tính chẵn lẻ của ax³ phụ thuộc vào a
     Tính chẵn lẻ của bx² phụ thuộc vào b
     Tính chẵn lẻ của cx phụ thuộc vào c
     d là số lẻ 
Mà a+b+c là số chẵn=> ax³+bx²+cx là số chẵn => ax³+bx²+cx+d là số lẻ khác 0
Vậy f(x) không thể có nghiệm nguyên 
Hơi khó hỉu chút nhé ahihi
 

Answer 2

Sai rồi bạn ơi

Answer 3

a+b+c là số chẵn chưa chắc ax^3+bx^2+cx là số chẵn

Answer 4

Cách của mình khá dài nhưng mình nghĩ là đúng:

Do f(0)+f(1) lẻ nên ta có:

f(0)=d-> d lẻ

f(1)= a+b+c+d->a+b+c+d lẻ

Giả sử y là nghiệm nguyên của f(x). Khi đó:

f(y)=ay^3+by^2+cy+d=0

=>ay^3+by^2+cy=-d

Mà -d lẻ(do d lẻ)

=> y lẻ

Lại có:f(y)-f(1)=(ay^3+by^2+cy+d)-(a+b+c+d)

                        =a(y^3-1)+b(y^2-1)+c(y-1) 

Do y lẻ=>f(y)-f(1) chẵn                (1)

Mà f(y)-f(1)=0-(a+b+c+d)

                   =-a-b-c-d

Do a+b+c+d lẻ=>f(y)-f(1) lẻ         (2)

Vì (1) và (2) mâu thuẫn 

=> Giả sử sai

Hay  f(x) ko thể có nghiệm là số nguyên(ĐCCM)

                        

Answer 5

Đây là 1 bài khá khó đấy!!!

Answer 6

^{x^3}