Question

Cho đa thức f(x)=ax²+bx+c. Biết rằng các giá trị của đa thức tại x=0;x=1;x = -1 ddều là những số nguyên .

Chứng tỏ rằng 2a;a+b;c là những số nguyên

Answer 1

Ta có: \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\)

\(f\left(0\right)=a.0^2+b.0+c=c\)

Mà theo đề: \(f\left(0\right)\in Z\Rightarrow c\in Z\)

\(f\left(1\right)=a.1^2+b.1+c=a+b+c\)

Mà theo đề: \(f\left(1\right)\in Z\Rightarrow a+b+c\in Z\)

Lại có: \(c\in Z\Rightarrow a+b\in Z\left(1\right)\)

\(f\left(-1\right)=a.\left(-1\right)^2+b.\left(-1\right)+c=a-b+c\)

Mà theo đề: \(f\left(-1\right)\in Z\Rightarrow a-b+c\in Z\)

Lại có:\(c\in Z\Rightarrow a-b\in Z\left(2\right)\)

Lấy (1)+(2),vế theo vế:

\(\Rightarrow\left(a+b\right)+\left(a-b\right)\in Z\Rightarrow2a\in Z\)

Vậy 2a;a+b;c là những số nguyên  (đpcm)