Question

Cho đa thức f(x) thỏa man x.f(x-3) = (x+2).f(x). Chứng tỏ rằng đa thức f(x) có ít nhất hai nghiệm

Answer 1

Ta có nghiệm của đa thức là giá trị của biến làm đa thức có giá trị bằng 0. 
Nếu f(a) = 0 => a là nghiệm của f(x). 
Do: x.f(x + 1) = (x + 2).f(x) (1) đúng với mọi x. 
+ Thay x = 0 vào (1) ta được 
0.f(0 + 1) = (0 + 2).f(0) 
=> 0 = 2.f(0) 
=> f(0) = 0 
Do f(0) = 0 => x = 0 là 1 nghiệm của đa thức trên. (2) 

+ Thay x = -2 vào (1) ta được: 
(-2).f(-2 + 1) = (-2 + 2).f(-2) 
=> (-2).f(-1) = 0.f(-2) 
=> (-2).f(-1) = 0 
=> f(-1) = 0 
=> x = -1 là 1 nghiệm của đa thức trên (3) 
Từ (2) và (3) => đa thức đã cho có ít nhất 2 nghiệm là x = 0 và x = -2

Answer 2

thay x=0 ta có 0.f(-3)=2f(0)

                      ->2f(0)=0

                     ->f(0)=0 

               nên 0 là 1 nghiệm của f(x)

thay x=-2 ta có-2f(-5)=0.f(x)

                    ->   -2f(-5)=0

                   ->f(-5)=0

             nên -5 là 1 nghiệm của f(x)

   vậy f(x) có it nhất 2 nghiệm

Answer 3

x.f(x-3)=(x+2)f(x)     (1)

Với x=-2, (1) <=> (-2).f(-5)=0.f(-2)

<=>(-2).f(-5)=0

<=>f(-5)=0

=> x=-5 là nghiệm f(x)

Với x=0, (1) <=> 0.f(-3)=2.f(0)

<=> 2.f(0)=0

<=> f(0)=0

=> x=0 là nghiệm f(x)

Vậy f(x) có ít nhất 2 nghiệm là 0; -5