Question

Cho đa thức f(x)= ax³+bx²+cx+d với a,b,c,d là các hệ số nguyên . Biết rằng , f(x) chia hết cho 5 với mọi x nguyên. CMR: a,b,c,d đều chia hết cho 5.

Help me! 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

#HA

Answer 1

Ta có:

P(0)=dP(0)=d

=> d chia hết cho 5

P(1)=a+b+c+dP(1)=a+b+c+d

=> a + b + c chia hết cho 5 (1)

P(−1)=−a+b−c+dP(−1)=−a+b−c+d chia hết cho 5 (2)

Cộng (1) và (2) ta được:

2b + 2d chia hết cho 5

Mà d chia hết cho 5 => 2d chia hết cho 5

=> 2b chia hết cho 5

=> b chia hết cho 5

P(2)=8a+4b+2c+dP(2)=8a+4b+2c+d chia hết cho 5

=> 8a + 2c chia hết cho 5 ( Vì 4b + d chia hết cho 5 )

=> 6a + 2a + 2c chia hết cho 5

=> 6a + 2( a + c ) chia hết cho 5

=> 2( a + c ) chia hết cho 5 ( Vì a + b + c chia hết cho 5, b chia hết cho 5 )

=> 6a chia hết cho 5

=> a chia hết cho 5

=> c chia hết cho 5

Vậy a ; b ; c ; d chia hết cho 5

Answer 2

Ta có: \(p\left(x\right)=ax^3+bx^2+cx+d\)

^{\(p\left(x\right)⋮5\forall x\)}

^{\(\Rightarrow p\left(5\right)⋮5\Rightarrow\left(a5^3+b5^2+c^5+d\right)⋮5\)}

^{\(\Rightarrow d⋮5\)}

^{\(\Rightarrow\left(ax^{3\:}+bx^2+cx\right)⋮5\)}

\(\Rightarrow p\left(1\right)=a1^3+b1^2+c\left[p\left(1\right)⋮5\right]\)

\(\Rightarrow-a+b+c\)

\(\Rightarrow p\left(1\right)+p\left(-1\right)=\left(a+b+c\right)+\left(-a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow b⋮5\)

\(\Rightarrow\left(ax^3+cx\right)⋮5\)

\(\Rightarrow x\left(ax^2+c\right)⋮5\Rightarrow ax^{2\:}+c⋮5\)

\(\Rightarrow x=5\Rightarrow a.5^2+c⋮5\Rightarrow c⋮5\Rightarrow ax^{2\:}⋮5\Rightarrow a⋮5\)

\(\Rightarrow a,b,c⋮5\left(đpcm\right)\)