Question

cho đa thức \(f(x)\) =\(a_nx^n+a_{n-1}.x^{n-1}+a_{n-2}.x^{n-2}+..+a_0\)

có nghiệm là \(\beta_1;\beta_2;..;\beta_n\in\left[0;1\right]\) thỏa mãn \(|f(0)|=f(1)\)

chứng minh rằng \(\beta_1.\beta_2...\beta_n\le\frac{1}{2^n}\)

Answer 1

biết đâu mà chứng minh

Answer 2

khó quá bạn ơi

Answer 3

mình biết làm rồi nhưng mà viết đáp án lên để các bạn xem  nhé 

ta có \(\beta_1;...\beta_n\) ;là nghiệm  của \(f\left(x\right)\)

=> \(f\left(x\right)=\left(x-\beta_1\right)\left(x-\beta_2\right)...\left(x-\beta_n\right)\)

=> \(f\left(0\right)=\left(-\beta_1\right)\left(-\beta_2\right)...\left(-\beta_n\right)\)

=> \(\left|f\left(0\right)\right|=\beta_1.\beta_2...\beta_n\) (vì \(\beta\in\left[0;1\right]\)

mà \(f\left(1\right)=\left(1-\beta_1\right)\left(1-\beta_2\right)...\left(1-\beta_n\right)\)

=> \(\beta_1.\beta_2...\beta_n=\left(1-\beta_1\right)\left(1-\beta_2\right)...\left(1-\beta_n\right)=\sqrt{\beta_1\left(1-\beta_1\right)}....\sqrt{\beta_n.\left(1-\beta_n\right)}\) 

Áp dụng bđt cô si với n cái căn kia ta sẽ có đpcm