Question

Cho đa thức 1 biến:

\(^{A\left(x\right)=x+x^2+x^3+....+x^{99}+x^{100}}\)

a,Chứng minh rằng x=-1 là nghiệm của A(x)

b,Tính giá trị của A(x) tại x=\(\frac{1}{2}\)

Answer 1

a ) \(A\left(-1\right)=-1+\left(-1\right)^2+\left(-1\right)^3+\left(-1\right)^4+....+\left(-1\right)^{99}+\left(-1\right)^{100}\)

\(=-1+1-1+1-1+1-....-1+1\)

\(=\left(-1+1\right)+\left(-1+1\right)+.....+\left(-1+1\right)\)

\(=0\)

Hay \(x=-1\) là nguyện của A(x) (đpcm )

b ) \(A\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^3+....+\left(\frac{1}{2}\right)^{100}\)

\(=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+.....+\frac{1}{2^{100}}\)

\(2A\left(\frac{1}{2}\right)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+.....+\frac{1}{2^{99}}\)

\(\Rightarrow2A\left(\frac{1}{2}\right)-A\left(\frac{1}{2}\right)=1-\frac{1}{2^{100}}\)

\(\Rightarrow A\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{2^{100}-1}{2^{100}}\)

Answer 2

Tại \(x=\frac{1}{2}\) thì A(x) = \(\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^3+.......+\left(\frac{1}{2}\right)^{100}\)

=> 2A(x) = \(1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^3+.......+\left(\frac{1}{2}\right)^{99}\)

=> 2A(x) - A(x) =\(1-\left(\frac{1}{2}\right)^{100}\) 

=> A(x) = \(1-\left(\frac{1}{2}\right)^{100}\)