Cho cho tứ giác lồi $A B C D$. Gọi $E, F$ lần lượt là trung điểm của $A B, C D$ và $G$ là trung điểm $E F$. Chứng minh rằng:
a) $\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B D}=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{B C}=2 \overrightarrow{E F}$.
b) $\overrightarrow{G A}+\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G C}+\overrightarrow{G D}=\overrightarrow{0}$
a ) Ta có: FC + FD = EB + EA (=0)
=> AC - AF + AD - AF = EA + AB + EA
=> AC + BA + AD = EA + AF + EA +AF
=> AC + BD = EF + EF
=> AC + BD = 2EF ( 1 )
Ta lại có : AB = AC + CB ( quy tắc 3 điểm ) ; AB = AD + DB ( quy tắc 3 điểm )
=> AC + CB = AD + DB
=> AC - DB = AD - CB
=> AC + BD = AD + BC ( 2 )
Từ (1),(2) => AC + BD = AD + BC = 2EF
b ) Ta có: GE + GF + GE + GF = 0
=> GA + AE + GC + CF + GB + BE + GD + DF = 0
=> GA + GC + GD + GB = - AE - CF - BE - DF
=> GA + GB + GC + GD = EA + EB + FC + FD
mà E , F lần lượt là trung điểm AB , DC => EA + EB = 0 ; FD + DC = 0
Vậy => GA + GB + GC + GD = 0 + 0 = 0