Dự đoán khi \(x=y=z=\sqrt{3}\) vậy dc GTNN là \(\frac{3\sqrt{3}}{2}\), cần c/m: \(P\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
\(\LeftrightarrowΣ\frac{y^2z^2}{x\left(y^2+z^2\right)}\ge\frac{3}{2}\sqrt{\frac{3}{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}}}\)
\(\LeftrightarrowΣ\frac{y^3z^3}{y^2+z^2}\ge\frac{3}{2}\sqrt{\frac{3x^4y^4z^4}{x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2}}\).Đặt \(\hept{\begin{cases}yz=a\\xz=b\\xy=c\end{cases}}\)
Khi đó ta cần chứng minh \(Σ\frac{a^3}{\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}}\ge\frac{3}{2}\sqrt{\frac{3a^2b^2c^2}{a^2+b^2+c^2}}\)
\(\LeftrightarrowΣ\frac{a^2}{b^2+c^2}\ge\frac{3}{2}\sqrt{\frac{3}{a^2+b^2+c^2}}\) và từ BĐT thuần nhất cuối , ta có thế khẳng định rằng \(a^2+b^2+c^2=3\)
Có nghĩa là ta cần c/m \(Σ\frac{a}{3-a^2}\ge\frac{3}{2}\LeftrightarrowΣ\left(\frac{a}{3-a^2}-\frac{1}{2}\right)\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ\frac{\left(a-1\right)\left(a+3\right)}{3-a^2}\ge0\)\(\LeftrightarrowΣ\left(\frac{\left(a-1\right)\left(a+3\right)}{3-a^2}-\left(a^2-1\right)\right)\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ\frac{a\left(a+2\right)\left(a-1\right)^2}{3-a^2}\ge0\) . XOng!
