Question

Cho các số x;y;a;b khác 0 thỏa mãn x+y=a+b và \(x^4+y^4=a^4+b^4\). Chứng minh rằng \(x^n+y^n=a^n+b^n\)

Answer 1

Ta có: x^4+y^4=a^4+b^4 
=>x^4-a^4=b^4-y^4 
=>(x^2-a^2)(x^2+a^2) = (b^2-y^2)(b^2+y^2) 
=>(x-a)(x+a)(x^2+a^2) = (b-y)(b+y)(b^2+y^2) (1) 
Ta lại có: x+y=a+b 
=>x-a=b-y (2) 
Từ (1) và (2) suy ra 
(b-y)(x+a)(x^2+a^2) - (b-y)(b+y)(b^2+y^2) = 0 
=>(b-y) [(x+a)(x^2+a^2) - (b+y)(b^2+y^2)] = 0 
Nếu b=y thì x=a, suy ra x^n+y^n=a^n+b^n 
Nếu (x+a)(x^2+a^2)-(b+y)(b^2+y^2)=0 
=>(x+a)(x^2+a^2)=(b+y)(b^2+y^2) 
=>x+a=b+y và x^2+a^2=y^2+b^2 (*) 
=>x=b+y-a (3) và x^2+a^2=y^2+b^2 (4) 
Thay (3) vào (4) ta được: 
(b+y-a)^2+a^2=y^2+b^2 
=>b^2+y^2+a^2+2by-2ab-2ay+a^2=b^2+y^2 
=>2a^2+2by-2ab-2ay=0 
=>a^2+by-ab-ay=0 
=>a(a-b)-y(a-b)=0 
=>(a-b)(a-y)=0 
=>a=b hoặc a=y 
Nếu a=b từ (*) suy ra x=y 
=> x^n+y^n=a^n+b^n
Nếu a=y từ (*) suy ra x=b 
=>x^n+y^n=a^n+b^n 
Vậy x^n+y^n=a^n+b^n 

Answer 2

Thank bạn nhiều. Chúc bạn một năm ms vui vẻ nhé!

Answer 3

nhìn vào mà lóa hết cả mắt luôn

Answer 4

(x+a)(x^2+a^2)=(b+y)(b^2+y^2) 
=>x+a=b+y và x^2+a^2=y^2+b^2 (*)

???????????

Answer 5

tai sao tu (x+a)(x^2+y^2)=(b+y)(b^2+y^2) lai co the suy ra ngay