Question

cho các số       x, y, a, b,      thỏa mãn  \(\hept{\begin{cases}x+y=a+b\\x^4+y^4=a^4+b^4\end{cases}}\)

CMR      \(x^n+y^n=a^n+b^n\)

Answer 1

Theo bài ra ta có: x⁴+y⁴=a⁴+b⁴ =>x⁴-a⁴=b⁴-y⁴ =>(x²-a²)(x²+a²) = (b²-y²)(b²+y²) =>(x-a)(x+a)(x²+a²) = (b-y)(b+y)(b²+y²) (1) 
Ta có: x+y=a+b=>x-a=b-y (2) 
Từ (1) và (2) suy ra 
(b-y)(x+a)(x²+a²) - (b-y)(b+y)(b²+y²) = 0 
=>(b-y) [(x+a)(x²+a²) - (b+y)(b²+y²)] = 0 
Nếu b=y thì x=a, suy ra xⁿ+yⁿ=aⁿ+bⁿ 
Nếu (x+a)(x²+a²)-(b+y)(b²+y²)=0 
=>(x+a)(x²+a²)=(b+y)(b²+y²) 
=>x+a=b+y và x²+a²=y²+b² (*) 
=>x=b+y-a (3) và x²+a²=y²+b² (4) 
Thay (3) vào (4) ta được: 
(b+y-a)²+a²=y²+b² 
=>b²+y²+a²+2by-2ab-2ay+a²=b²+y² 
=>2a²+2by-2ab-2ay=0 
=>a²+by-ab-ay=0 
=>a(a-b)-y(a-b)=0 =>(a-b)(a-y)=0 
=>a=b hoặc a=y 
*Nếu a=b từ (*) suy ra x=y 
=> xⁿ+yⁿ=aⁿ+bⁿ 
*Nếu a=y từ (*) suy ra x=b 
=>xⁿ+yⁿ=aⁿ+bⁿ 
Vậy xⁿ+yⁿ=aⁿ+bⁿ 

Lưu ý: biểu thức chỉ đúng với n dương

Answer 2

\(thanks\)   bn nhé!!!!!

Answer 3

Theo bài ra ta có: x⁴+y⁴=a⁴+b⁴ =>x⁴-a⁴=b⁴-y⁴ =>(x²-a²)(x²+a²) = (b²-y²)(b²+y²) =>(x-a)(x+a)(x²+a²) = (b-y)(b+y)(b²+y²) (1) 
Ta có: x+y=a+b=>x-a=b-y (2) 
Từ (1) và (2) suy ra 
(b-y)(x+a)(x²+a²) - (b-y)(b+y)(b²+y²) = 0 
=>(b-y) [(x+a)(x²+a²) - (b+y)(b²+y²)] = 0 
Nếu b=y thì x=a, suy ra xⁿ+yⁿ=aⁿ+bⁿ 
Nếu (x+a)(x²+a²)-(b+y)(b²+y²)=0 
=>(x+a)(x²+a²)=(b+y)(b²+y²) 
=>x+a=b+y và x²+a²=y²+b² (*) 
=>x=b+y-a (3) và x²+a²=y²+b² (4) 
Thay (3) vào (4) ta được: 
(b+y-a)²+a²=y²+b² 
=>b²+y²+a²+2by-2ab-2ay+a²=b²+y² 
=>2a²+2by-2ab-2ay=0 
=>a²+by-ab-ay=0 
=>a(a-b)-y(a-b)=0 =>(a-b)(a-y)=0 
=>a=b hoặc a=y 
*Nếu a=b từ (*) suy ra x=y 
=> xⁿ+yⁿ=aⁿ+bⁿ 
*Nếu a=y từ (*) suy ra x=b 
=>xⁿ+yⁿ=aⁿ+bⁿ 
Vậy xⁿ+yⁿ=aⁿ+bⁿ