Question

cho các số thực không âm x,y,z thỏa mãn x²+y²+z²=3

1.chứng minh xy²+yz²+zx²\(\le\)2+xyz\(\frac{x}{2+y}+\frac{y}{2+z}+\frac{z}{2+x}\)

2. tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thwucs P=

Answer 1

ai làm giúp mk vs ạ

Answer 2

cái dề bài câu b : P= là ở trên í ạ

Answer 3

1. Không mất tính tổng quát, giả sử: \(x\ge y\ge z\)

\(\Rightarrow x\left(y-z\right)\left(y-x\right)\le0\Leftrightarrow x\left(y^2-xy-yz+xz\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow xy^2+yz^2+zx^2\le x^2y+yz^2+xyz\)

Ta chứng minh

\(x^2y+yz^2\le2\Leftrightarrow y\left(x^2+z^2\right)\le2\Leftrightarrow y\left(3-y^2\right)\le2\)

\(\Leftrightarrow y^3+2\ge3y\)

Áp dụng bđt cô - si cho 3 số không âm:

\(y^3+2=y^3+1+1\ge3\sqrt[3]{y^3.1.1}=3y\)

Lúc đó \(\Leftrightarrow xy^2+yz^2+zx^2\le2+xyz\)

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1

Answer 4

2. Ta có:

\(P=\text{Σ}_{cyc}\frac{x}{2+y}=\frac{\text{Σ}_{cyc}\left[x\left(z+2\right)\left(x+2\right)\right]}{\left(z+2\right)\left(y+2\right)\left(x+2\right)}\)

\(=\frac{4\left(\text{Σ}_{cyc}a\right)+2\left(\text{Σ}_{cyc}x^2\right)+2\left(\text{Σ}_{cyc}xy\right)+\text{Σ}_{cyc}\left(x^2z\right)}{4\left(x+y+z\right)+8+xyz+3\left(xy+yz+zx\right)}\)

Theo phần 1 thì \(xy^2+yz^2+zx^2\le2+xyz\)

\(\Rightarrow P\le\frac{4\left(x+y+z\right)+8+xyz+2\left(xy+yz+zx\right)}{4\left(x+y+z\right)+8+xyz+2\left(xy+yz+zx\right)}=1\)

Dấu "=" khi x = y = z = 1