Ta có:
\(\frac{1}{x^2+x}+\frac{x+1}{4x}\ge\frac{1}{x}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x^2+x}\ge\frac{3}{4x}-\frac{1}{4}\left(1\right)\)
Tương tự ta có:
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{y^2+y}\ge\frac{3}{4y}-\frac{1}{4}\left(2\right)\\\frac{1}{z^2+z}\ge\frac{3}{4z}-\frac{1}{4}\left(3\right)\end{cases}}\)
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được:
\(P=\frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{y^2+y}+\frac{1}{z^2+z}\ge\frac{3}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)-\frac{3}{4}\)
\(\ge\frac{3}{4}.\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\)
Vậy GTNN là \(P=\frac{3}{2}\)đạt được khi \(x=y=z=1\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2=9\)
\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge9\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\)
Lại áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(P=\frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{y^2+y}+\frac{1}{z^2+z}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x^2+x+y^2+y+z^2+z}\)
\(=\frac{\left(1+1+1\right)^2}{\left(x^2+y^2+z^2\right)+\left(x+y+z\right)}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{3+3}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=1\)
Lộn dấu rồi kìa: \(x^2+y^2+z^2\ge3\) thì khi đưa xuống mẫu phải đổi dấu chứ phải thành
\(\frac{1}{x^2+y^2+z^2}\le\frac{1}{3}\) chứ
Bạn ơi, mình chưa hiểu tại sao có \(\frac{1}{x^2+x}+\frac{x+1}{4x}\ge\frac{1}{x}\)
rồi vì sao \(\frac{3}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)-\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}.\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}-\frac{3}{4}\)
Giải thích hộ mình.
Thứ nhất:
\(\frac{1}{x^2+x}+\frac{x+1}{4x}\ge\frac{1}{x}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{\frac{1}{x\left(x+1\right)}}\right)^2-2\sqrt{\frac{1}{x\left(x+1\right)}}.\sqrt{\frac{x+1}{4x}}+\left(\sqrt{\frac{x+1}{4x}}\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{\frac{1}{x\left(x+1\right)}}-\sqrt{\frac{x+1}{4x}}\right)^2\ge0\left(đúng\right)\)
\(p=\frac{3}{2}\)\(dat\)\(duoc\)\(khi\)\(x=y=z=1\)
giai khong duoc vi bai nay kho thoi
