Câu hỏi của Nguyễn Ngọc Linh Nhi

Question

cho các số thực dương x;y;z thõa mãn $x+y+z=1$chứng minh rằng:$\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+zx}+\frac{z}{z+xy}\le\frac{9}{4}$

Hoàng Lê Bảo Ngọc · Accepted Answer

Đặt $a=\sqrt{\frac{yz}{x}},b=\sqrt{\frac{zx}{y}},c=\sqrt{\frac{xy}{z}}$ $\Rightarrow ab+bc+ac=1$Suy ra bài toán trở về dạng chứng minh $\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\le\frac{9}{4}$$\Leftrightarrow1-\frac{a^2}{a^2+1}+1-\frac{b^2}{b^2+1}+1-\frac{c^2}{c^2+1}\le\frac{9}{4}$$\Leftrightarrow\frac{a^2}{a^2+1}+\frac{b^2}{b^2+1}+\frac{c^2}{c^2+1}\ge\frac{3}{4}$(*)Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có : $\frac{a^2}{a^2+1}+\frac{b^2}{b^2+1}+\frac{c^2}{c^2+1}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+3}$Đặt t = a+b+c $\Rightarrow a^2+b^2+c^2=t^2-2$Ta cần chứng minh $\frac{t^2}{t^2+1}\ge\frac{3}{4}\Leftrightarrow4t^2\ge3t^2+3\Rightarrow t^2\ge3$(Luôn đúng vì $\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ac\right)=3$)Vậy ta có đpcmCâu trả lời: Đặt $a=\sqrt{\frac{yz}{x}},b=\sqrt{\frac{zx}{y}},c=\sqrt{\frac{xy}{z}}$ $\Rightarrow ab+bc+ac=1$Suy ra bài toán trở về dạng chứng minh $\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\le\frac{9}{4}$$\Leftrightarrow1-\frac{a^2}{a^2+1}+1-\frac{b^2}{b^2+1}+1-\frac{c^2}{c^2+1}\le\frac{9}{4}$$\Leftrightarrow\frac{a^2}{a^2+1}+\frac{b^2}{b^2+1}+\frac{c^2}{c^2+1}\ge\frac{3}{4}$(*)Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có : $\frac{a^2}{a^2+1}+\frac{b^2}{b^2+1}+\frac{c^2}{c^2+1}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+3}$Đặt t = a+b+c $\Rightarrow a^2+b^2+c^2=t^2-2$Ta cần chứng minh $\frac{t^2}{t^2+1}\ge\frac{3}{4}\Leftrightarrow4t^2\ge3t^2+3\Rightarrow t^2\ge3$(Luôn đúng vì $\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ac\right)=3$)Vậy ta có đpcm

supernub · Answer

Để câu trả lời của bạn nhanh chóng được duyệt và hiển thị, hãy gửi câu trả lời đầy đủ và không nên:Yêu cầu, gợi ý các bạn khác chọn (k) đúng cho mìnhChỉ ghi đáp số mà không có lời giải, hoặc nội dung không liên quan đến câu hỏi.Câu trả lời: Để câu trả lời của bạn nhanh chóng được duyệt và hiển thị, hãy gửi câu trả lời đầy đủ và không nên:Yêu cầu, gợi ý các bạn khác chọn (k) đúng cho mìnhChỉ ghi đáp số mà không có lời giải, hoặc nội dung không liên quan đến câu hỏi.

supernub · Answer

Để câu trả lời của bạn nhanh chóng được duyệt và hiển thị, hãy gửi câu trả lời đầy đủ và nên:Yêu cầu, gợi ý các bạn khác chọn (k) đúng cho mìnhChỉ ghi đáp số mà không có lời giải, hoặc nội dung không liên quan đến câu hỏiCâu trả lời: Để câu trả lời của bạn nhanh chóng được duyệt và hiển thị, hãy gửi câu trả lời đầy đủ và nên:Yêu cầu, gợi ý các bạn khác chọn (k) đúng cho mìnhChỉ ghi đáp số mà không có lời giải, hoặc nội dung không liên quan đến câu hỏi

Khoá học trên OLM (olm.vn)

Khoá học trên OLM (olm.vn)