Ta có x√(1-y2)<= (x2 + 1 - y2)/2
y√(1-z2)<= (y2 +1 - z2)/2
z√(1- x2)<= (z2 + 1 - x2)/2
=>x√(1-y2) +y√(1-z2)z+√(1- x2)<=3/2
Đấu đẳng thức xảy ra khi: x2 = 1 - y2
y2 = 1-z2
z2 = 1- x2
Cộng vế theo vế ta được điều phải chứng minh
Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn điều kiện \(x+y+z=2019xyz\).CMR:
\(\frac{x^2+1+\sqrt{2019x^2+1}}{x}+\frac{y^2+1+\sqrt{2019y^2+1}}{y}+\frac{z^2+1+\sqrt{2019z^2+1}}{z}\le2019.2020xyz\)
Cho x,y,z là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện x+y+z=xyz. Tìm giá thị lớn nhất của:
\(P=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{1}{\sqrt{1 +z^2}}\)
Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện xy+yz+zx=1. Tính
\(A=x\sqrt{\frac{\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}{1+x^2}}+y\sqrt{\frac{\left(1+z^2\right)\left(1+x^2\right)}{1+y^2}}+z\sqrt{\frac{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}{1+z^2}}\)
Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện: xy+yz+xz=1.Tính
\(A=x\sqrt{\frac{\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}{1+x^2}}+y\sqrt{\frac{\left(1+z^2\right)\left(1+x^2\right)}{1+y^2}}+z\sqrt{\frac{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}{1+z^2}}\)
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn xy+yz+zx=1
Chứng minh rằng
\(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}+\frac{1}{1+z^2}\ge\frac{2}{3}\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{z}{\sqrt{1+z^2}}\right)^3\)
Cho x,y,z là các số dương thay đổi và luôn thỏa mãn điều kiện xyz=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
\(P=\frac{x^2\left(y+z\right)}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{y^2\left(z+x\right)}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{z^2\left(x+y\right)}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)
\(\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+\frac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}>=2\)Cho ba số x, y, z là ba số dương thỏa mãn \(x^3+y^3+z^3=1\)
CMR:
Cho x;y;z là các số dương thỏa mãn \(x^2+y^2+z^2=12\)cmr
\(\frac{1}{\sqrt{x^3+1}}+\frac{1}{\sqrt{y^3+1}}+\frac{1}{\sqrt{z^3+1}}\ge1\)
1) Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện x\(\sqrt{2020-y^2}\) + y\(\sqrt{2020-z^2}\) +z\(\sqrt{2023-x^2}\)=3030. Tính giá trị vủa biểu thức A=x\(^2\)+\(y^2\)+\(z^2\)
