Cho abc=1 va a3>36.CMR:a23+b2+c2>ab+bc+ca}
Lời giải:
VT−VP=a24+b2+c2−ab−bc+2bc+a212=(a2−b−c)2+a2−36bc12>0⇒ đpcm
Cách khác:
Từ giả thiết suy ra a>0 và bc>0. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
a23+(b+c)2−3bc−a(b+c)≥0⟺13+(b+ca)2−b+ca−3a3≥0
Vì a3>36 nên
b) Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện x+y+z=3/4. Chứng minh:
\(6\left(x^2+y^2+z^2\right)+10\left(xy+yz+zx\right)+2\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\ge9\)
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Cho x,y,z là 3 số thực dương thỏa mãn xyz=1.Chứng minh bất đẳng thức
\(\frac{1}{\left(2x+y+z\right)^2}+\frac{1}{\left(x+2y+z\right)^2}+\frac{1}{\left(x+y+2z\right)^2}\le\frac{3}{16}\)
a) Chứng minh với mọi số thực a,b,c a cs \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
b) Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện x+y+z=3/4. Chứng minh:
\(6\left(x^2+y^2+z^2\right)+10\left(xy+yz+zx\right)+2\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\ge9\)
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Cho các số thực dương x,y,z thõa mãn \(\sqrt{xy}+\sqrt{xz}+\sqrt{yz}=\sqrt{xyz}\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P=\(\dfrac{1}{xyz}\left(x\sqrt{2y^2+yz+2z^2}+y\sqrt{2x^2+xz+2z^2}+z\sqrt{2y^2+xy+2x^2}\right)\)
Cho các số thực dương x, y, z thõa mãn \(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=\sqrt{xyz}\). tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=\(\frac{1}{xyz}\left(x\sqrt{2y^2+yz+2z^2}+y\sqrt{2z^2+xz+2x^2}+z\sqrt{2x^2+xy+2y^2}\right)\)
Cho ba số thực dương x,y,z thõa mãn \(\frac{1}{2x-1}+\frac{1}{\sqrt{2y-1}}+\frac{1}{\sqrt{2z-1}}=3\)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(A=\frac{2x+y}{x\left(x+2y\right)}+\frac{2y+z}{y\left(y+2z\right)}+\frac{2z+x}{z\left(z+2x\right)}\)
Cho ba số thực dương x,y,z thõa mãn \(\frac{1}{\sqrt{2x-1}}+\frac{1}{\sqrt{2y-1}}+\frac{1}{\sqrt{2z-1}}=3\)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(A=\frac{2x+y}{x\left(x+2y\right)}+\frac{2y+z}{y\left(y+2z\right)}+\frac{2z+x}{z\left(z+2x\right)}\)
Cho ba số dương x, y và z thỏa mãn xyz = 1.Chứng minh rằng :
\(\frac{1}{x^2+2y^2+3}+\frac{1}{y^2+2z^2+3}+\frac{1}{z^2+2x^2+3}\le\frac{1}{2}\)
\(\frac{x}{2x+y+3}+\frac{y}{2y+z+3}+\frac{z}{2z+x+3}\ge\frac{1}{2}\) với x,y,z là 3 số thực dương thỏa mãn xyz=1
