Sử dụng kết hợp hai bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và AM - GM, ta được: \(\left(ab+1\right)^2\le\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)=\left(a.a.1+1\right)\left(b.b.1+1\right)\)\(\le\left(\frac{a^3+a^3+1}{3}+1\right)\left(\frac{b^3+b^3+1}{3}+1\right)=\frac{4}{9}\left(a^3+2\right)\left(b^3+2\right)\)\(\Rightarrow ab+1\le\frac{2}{3}\sqrt{\left(a^3+2\right)\left(b^3+2\right)}\Rightarrow\frac{a^3+2}{ab+1}\ge\frac{3}{2}\sqrt{\frac{a^3+2}{b^3+2}}\)(1)
Hoàn toàn tương tự: \(\frac{b^3+2}{bc+1}\ge\frac{3}{2}\sqrt{\frac{b^3+2}{c^3+2}}\)(2); \(\frac{c^3+2}{ca+1}\ge\frac{3}{2}\sqrt{\frac{c^3+2}{a^3+2}}\)(3)
Cộng theo vế của 3 BĐT (1), (2), (3), ta được:
\(Q=\frac{a^3+2}{ab+1}+\frac{b^3+2}{bc+1}+\frac{c^3+2}{ca+1}\ge\)\(\frac{3}{2}\left(\sqrt{\frac{a^3+2}{b^3+2}}+\sqrt{\frac{b^3+2}{c^3+2}}+\sqrt{\frac{c^3+2}{a^3+2}}\right)\)
\(\ge\frac{3}{2}.\sqrt[3]{\sqrt{\frac{a^3+2}{b^3+2}}.\sqrt{\frac{b^3+2}{c^3+2}}.\sqrt{\frac{c^3+2}{a^3+2}}}=\frac{3}{2}\)(Áp dụng BĐT AM - GM)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức 
