Question

cho các số thực a,b,c thoả mãn \(a^2+b^2+c^2+abc=4\)

CMR \(ab+bc+ca-abc\le2\)

Answer 1

Dựa vào điều kiện xuy ra được trong 3 xô: \(\left(1-a\right);\left(1-b\right);\left(1-c\right)\)co 2 xô cùng dâu. Giả xư đo là \(\left(1-a\right);\left(1-b\right)\)

\(\Rightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)\ge0\)

Ta lại co:

\(4=a^2+b^2+c^2+abc\ge c^2+2ab+abc\)

\(\Leftrightarrow ab\left(2+c\right)\le4-c^2\)

\(\Leftrightarrow ab\le2-c\)

Quay lại bài toan ta co:

\(ab+bc+ca-abc\le2+\text{​​}\left(bc+ca-abc-c\right)=2-c\left(1-a\right)\left(1-b\right)\le2\)