Question

cho các số thực a,b,c thỏa mãn 0<a,b,c <1/2 và 2a+3b+4c=3 tìm GTNN của biểu thức P=2/a(3b+4c-2) + 9/b(4a+8c-3) +8/c(2a+3b-1) giải giúp mik với

Answer 1

Từ giả thiết: \(2a+3b+4c=3\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3b+4c-2=1-2a\\4a+8c-3=3-6b\\2a+3b-1=2-4c\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow P=\dfrac{2}{a\left(1-2a\right)}+\dfrac{3}{b\left(1-2b\right)}+\dfrac{4}{c\left(1-2c\right)}\)

Với \(0< x< \dfrac{1}{2}\) ta có đánh giá:

\(\dfrac{1}{x\left(1-2x\right)}\ge27x\)

Thực vậy, BĐT tương đương:

\(54x^3-27x^2+1\ge0\) 

\(\Leftrightarrow\left(3x-1\right)^2\left(6x+1\right)\ge0\) (luôn đúng)

Áp dụng:

\(P\ge2.27a+3.27b+4.27c=27\left(2a+3b+4c\right)=81\)

\(P_{min}=81\) khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)