Câu hỏi của Lê Minh Đức

Question

Cho các số thực a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn $0\le a;b;c\le2$CMR: $\frac{1}{^{\left(a-b\right)^2}}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}\ge\frac{9}{4}$

Phước Nguyễn · Accepted Answer

Vì vai trò bình đẳng của các ẩn  $a,b,c$  là như nhau nên không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử:$2\ge c>b>a\ge0$ $\left(\alpha\right)$ (do  $a,b,c$  đôi một khác nhau nên cũng không đồng thời bằng nhau)Áp dụng bđt  $AM-GM$  cho từng bộ số gồm có các số không âm, ta có:$\left(i\right)$  Với  $\frac{1}{\left(a-b\right)^2}>0;$  $\left[-\left(a-b\right)\right]>0$$\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\left[-\left(a-b\right)\right]+\left[-\left(a-b\right)\right]\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{\left(a-b\right)^2}.\left[-\left(a-b\right)\right]\left[-\left(a-b\right)\right]}=3$$\Rightarrow$  $\frac{1}{\left(a-b\right)^2}\ge3-2\left(b-a\right)$  $\left(1\right)$$\left(ii\right)$ Với  $\frac{1}{\left(b-c\right)^2}>0;$ $\left[-\left(b-c\right)\right]>0$ $\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\left[-\left(b-c\right)\right]+\left[-\left(b-c\right)\right]\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{\left(b-c\right)^2}.\left[-\left(b-c\right)\right]\left[-\left(b-c\right)\right]}=3$$\Rightarrow$  $\frac{1}{\left(b-c\right)^2}\ge3-2\left(c-b\right)$  $\left(2\right)$$\left(iii\right)$  Với  $\frac{1}{\left(c-a\right)^2}>0;$  $\frac{c-a}{16}>0$$\frac{1}{\left(c-a\right)^2}+\frac{c-a}{8}+\frac{c-a}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{\left(c-a\right)^2}.\frac{\left(c-a\right)}{8}.\frac{\left(c-a\right)}{8}}=\frac{3}{4}$$\Rightarrow$  $\frac{1}{\left(c-a\right)^2}\ge\frac{3}{4}-\frac{c-a}{4}$  $\left(3\right)$Cộng từng vế ba bất đẳng thức  $\left(1\right);$  $\left(2\right)$  và   $\left(3\right)$  , ta được:$\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}\ge3-2\left(b-a\right)+3-2\left(c-b\right)+\frac{3}{4}-\frac{c-a}{4}$nên   $\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}\ge\frac{27}{4}-\frac{9\left(c-a\right)}{4}=\frac{27}{4}+\frac{9\left(a-c\right)}{4}$Mặt khác, từ  $\left(\alpha\right)$  ta suy ra được:  $\hept{\begin{cases}a\ge0\2\ge c\end{cases}}$nên   $a+2\ge c$ hay nói cách khác  $a-c\ge-2$Do đó,  $\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}\ge\frac{27}{4}+\frac{9.\left(-2\right)}{4}=\frac{9}{4}$Dấu  $"="$  xảy ra khi và chỉ khi  $\hept{\begin{cases}a=0\b=1\c=2\end{cases}}$  (thỏa mãn  $\left(\alpha\right)$  )Câu trả lời: Vì vai trò bình đẳng của các ẩn  $a,b,c$  là như nhau nên không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử:$2\ge c>b>a\ge0$ $\left(\alpha\right)$ (do  $a,b,c$  đôi một khác nhau nên cũng không đồng thời bằng nhau)Áp dụng bđt  $AM-GM$  cho từng bộ số gồm có các số không âm, ta có:$\left(i\right)$  Với  $\frac{1}{\left(a-b\right)^2}>0;$  $\left[-\left(a-b\right)\right]>0$$\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\left[-\left(a-b\right)\right]+\left[-\left(a-b\right)\right]\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{\left(a-b\right)^2}.\left[-\left(a-b\right)\right]\left[-\left(a-b\right)\right]}=3$$\Rightarrow$  $\frac{1}{\left(a-b\right)^2}\ge3-2\left(b-a\right)$  $\left(1\right)$$\left(ii\right)$ Với  $\frac{1}{\left(b-c\right)^2}>0;$ $\left[-\left(b-c\right)\right]>0$ $\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\left[-\left(b-c\right)\right]+\left[-\left(b-c\right)\right]\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{\left(b-c\right)^2}.\left[-\left(b-c\right)\right]\left[-\left(b-c\right)\right]}=3$$\Rightarrow$  $\frac{1}{\left(b-c\right)^2}\ge3-2\left(c-b\right)$  $\left(2\right)$$\left(iii\right)$  Với  $\frac{1}{\left(c-a\right)^2}>0;$  $\frac{c-a}{16}>0$$\frac{1}{\left(c-a\right)^2}+\frac{c-a}{8}+\frac{c-a}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{\left(c-a\right)^2}.\frac{\left(c-a\right)}{8}.\frac{\left(c-a\right)}{8}}=\frac{3}{4}$$\Rightarrow$  $\frac{1}{\left(c-a\right)^2}\ge\frac{3}{4}-\frac{c-a}{4}$  $\left(3\right)$Cộng từng vế ba bất đẳng thức  $\left(1\right);$  $\left(2\right)$  và   $\left(3\right)$  , ta được:$\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}\ge3-2\left(b-a\right)+3-2\left(c-b\right)+\frac{3}{4}-\frac{c-a}{4}$nên   $\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}\ge\frac{27}{4}-\frac{9\left(c-a\right)}{4}=\frac{27}{4}+\frac{9\left(a-c\right)}{4}$Mặt khác, từ  $\left(\alpha\right)$  ta suy ra được:  $\hept{\begin{cases}a\ge0\2\ge c\end{cases}}$nên   $a+2\ge c$ hay nói cách khác  $a-c\ge-2$Do đó,  $\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}\ge\frac{27}{4}+\frac{9.\left(-2\right)}{4}=\frac{9}{4}$Dấu  $"="$  xảy ra khi và chỉ khi  $\hept{\begin{cases}a=0\b=1\c=2\end{cases}}$  (thỏa mãn  $\left(\alpha\right)$  )

Phước Nguyễn · Answer

Vì vai trò bình đẳng của các ẩn  $a,b,c$  là như nhau nên không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử:$2\ge c>b>a\ge0$ $\left(\alpha\right)$ (do  $a,b,c$  đôi một khác nhau nên cũng không đồng thời bằng nhau)Áp dụng bđt  $AM-GM$  cho từng bộ số gồm có các số không âm, ta có:$\left(i\right)$  Với  $\frac{1}{\left(a-b\right)^2}>0;$  $\left[-\left(a-b\right)\right]>0$$\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\left[-\left(a-b\right)\right]+\left[-\left(a-b\right)\right]\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{\left(a-b\right)^2}.\left[-\left(a-b\right)\right]\left[-\left(a-b\right)\right]}=3$$\Rightarrow$  $\frac{1}{\left(a-b\right)^2}\ge3-2\left(b-a\right)$  $\left(1\right)$$\left(ii\right)$ Với  $\frac{1}{\left(b-c\right)^2}>0;$ $\left[-\left(b-c\right)\right]>0$ $\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\left[-\left(b-c\right)\right]+\left[-\left(b-c\right)\right]\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{\left(b-c\right)^2}.\left[-\left(b-c\right)\right]\left[-\left(b-c\right)\right]}=3$$\Rightarrow$  $\frac{1}{\left(b-c\right)^2}\ge3-2\left(c-b\right)$  $\left(2\right)$$\left(iii\right)$  Với  $\frac{1}{\left(c-a\right)^2}>0;$  $\frac{c-a}{16}>0$$\frac{1}{\left(c-a\right)^2}+\frac{c-a}{8}+\frac{c-a}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{\left(c-a\right)^2}.\frac{\left(c-a\right)}{8}.\frac{\left(c-a\right)}{8}}=\frac{3}{4}$$\Rightarrow$  $\frac{1}{\left(c-a\right)^2}\ge\frac{3}{4}-\frac{c-a}{4}$  $\left(3\right)$Cộng từng vế ba bất đẳng thức  $\left(1\right);$  $\left(2\right)$  và   $\left(3\right)$  , ta được:$\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}\ge3-2\left(b-a\right)+3-2\left(c-b\right)+\frac{3}{4}-\frac{c-a}{4}$nên   $\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}\ge\frac{27}{4}-\frac{9\left(c-a\right)}{4}=\frac{27}{4}+\frac{9\left(a-c\right)}{4}$Mặt khác, từ  $\left(\alpha\right)$  ta suy ra được:  $\hept{\begin{cases}a\ge0\2\ge c\end{cases}}$nên   $a+2\ge c$ hay nói cách khác  $a-c\ge-2$Do đó,  $\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}\ge\frac{27}{4}+\frac{9.\left(-2\right)}{4}=\frac{9}{4}$Dấu  $"="$  xảy ra khi và chỉ khi  $a=0;b=1;c=2$  (thỏa mãn  $\left(\alpha\right)$  )Câu trả lời: Vì vai trò bình đẳng của các ẩn  $a,b,c$  là như nhau nên không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử:$2\ge c>b>a\ge0$ $\left(\alpha\right)$ (do  $a,b,c$  đôi một khác nhau nên cũng không đồng thời bằng nhau)Áp dụng bđt  $AM-GM$  cho từng bộ số gồm có các số không âm, ta có:$\left(i\right)$  Với  $\frac{1}{\left(a-b\right)^2}>0;$  $\left[-\left(a-b\right)\right]>0$$\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\left[-\left(a-b\right)\right]+\left[-\left(a-b\right)\right]\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{\left(a-b\right)^2}.\left[-\left(a-b\right)\right]\left[-\left(a-b\right)\right]}=3$$\Rightarrow$  $\frac{1}{\left(a-b\right)^2}\ge3-2\left(b-a\right)$  $\left(1\right)$$\left(ii\right)$ Với  $\frac{1}{\left(b-c\right)^2}>0;$ $\left[-\left(b-c\right)\right]>0$ $\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\left[-\left(b-c\right)\right]+\left[-\left(b-c\right)\right]\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{\left(b-c\right)^2}.\left[-\left(b-c\right)\right]\left[-\left(b-c\right)\right]}=3$$\Rightarrow$  $\frac{1}{\left(b-c\right)^2}\ge3-2\left(c-b\right)$  $\left(2\right)$$\left(iii\right)$  Với  $\frac{1}{\left(c-a\right)^2}>0;$  $\frac{c-a}{16}>0$$\frac{1}{\left(c-a\right)^2}+\frac{c-a}{8}+\frac{c-a}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{\left(c-a\right)^2}.\frac{\left(c-a\right)}{8}.\frac{\left(c-a\right)}{8}}=\frac{3}{4}$$\Rightarrow$  $\frac{1}{\left(c-a\right)^2}\ge\frac{3}{4}-\frac{c-a}{4}$  $\left(3\right)$Cộng từng vế ba bất đẳng thức  $\left(1\right);$  $\left(2\right)$  và   $\left(3\right)$  , ta được:$\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}\ge3-2\left(b-a\right)+3-2\left(c-b\right)+\frac{3}{4}-\frac{c-a}{4}$nên   $\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}\ge\frac{27}{4}-\frac{9\left(c-a\right)}{4}=\frac{27}{4}+\frac{9\left(a-c\right)}{4}$Mặt khác, từ  $\left(\alpha\right)$  ta suy ra được:  $\hept{\begin{cases}a\ge0\2\ge c\end{cases}}$nên   $a+2\ge c$ hay nói cách khác  $a-c\ge-2$Do đó,  $\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}\ge\frac{27}{4}+\frac{9.\left(-2\right)}{4}=\frac{9}{4}$Dấu  $"="$  xảy ra khi và chỉ khi  $a=0;b=1;c=2$  (thỏa mãn  $\left(\alpha\right)$  )

Khoá học trên OLM (olm.vn)

Khoá học trên OLM (olm.vn)