Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Lưu Đức Mạnh

Cho các số nguyên dương thõa mãn điều kiện p2 + a2 = b2. Chứng minh rằng nếu p là một số nguyên tố lớn hơn 3 thì a chia hết cho 12 và 2(p + a + 1) là một số chính phương.

Kiệt Nguyễn
10 tháng 8 2020 lúc 19:44

Theo đề bài, ta có: \(p^2+a^2=b^2\Rightarrow p^2=b^2-a^2=\left(b+a\right)\left(b-a\right)\)(1)

Vì p là số nguyên tố nên \(p^2\)có 3 ước là \(1;p;p^2\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra có 3 khả năng có thể xảy ra là:

Khả năng 1: \(\hept{\begin{cases}b+a=1\\b-a=p^2\end{cases}}\). Điều này không thể xảy ra vì p > 3 nên \(p^2>9\Rightarrow b-a>9>1=b+a\Rightarrow-2a>0\)vô lí vì a nguyên dương

Khả năng 2: \(\hept{\begin{cases}b+a=p\\b-a=p\end{cases}}\Rightarrow b+a=b-a\Rightarrow2a=0\Rightarrow a=0\)(Loại vì a nguyên dương, không thể bằng 0)

Khả năng 3: \(\hept{\begin{cases}b+a=p^2\left(3\right)\\b-a=1\left(4\right)\end{cases}}\)

Lấy (3) - (4), ta được: \(2a=p^2-1=\left(p+1\right)\left(p-1\right)\)

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 (*) nên p không chia hết cho 3 nên \(p^2\)chia 3 dư 1\(\Rightarrow p^2-1⋮3\)

\(\Rightarrow2a⋮3\)mà \(\left(2,3\right)=1\)nên \(a⋮3\)(**)

Từ (*) suy ra p lẻ nên \(p-1\)và \(p+1\)là hai số chẵn liên tiếp

Đặt \(p-1=2k\left(k\inℕ,k>1\right)\)thì \(p+1=2k+2\Rightarrow\left(p-1\right)\left(p+1\right)=4k\left(k+1\right)\)

Vì \(k\left(k+1\right)\)là tích của hai số nguyên liên tiếp nên \(k\left(k+1\right)⋮2\)suy ra \(4k\left(k+1\right)⋮8\)

hay \(2a⋮8\Rightarrow a⋮4\)(***)

Từ (**) và (***) suy ra \(a⋮12\)do \(\left(3,4\right)=1\)(đpcm)

Vì \(2a=p^2-1\Rightarrow2\left(p+a+1\right)\)       \(=2p+2a+2=2p+p^2-1+2=p^2+2p+1=\left(p+1\right)^2\)là số chính phương (đpcm)

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Cuong Doan
Xem chi tiết
FallenCelestial
Xem chi tiết
Nguyễn Huyền Trang
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Ngọc
Xem chi tiết
NGUYỄN Đat
Xem chi tiết
Nguyễn Thiện Minh
Xem chi tiết
Phan Thảo Hiền
Xem chi tiết
NGUYỄN Đat
Xem chi tiết
TXT Channel Funfun
Xem chi tiết