Question

Cho các số nguyên a,b,c,d thỏa mãn các điều kiện :

       a+b=c+d và ab +1=cd

Chứng tỏ rằng c=d

Answer 1

Ta có :a+b=c+d

\(\Rightarrow\) a=c+d-b  

Thay vào ab+1=cd  

\(\Rightarrow\) (c+d-b)*b+1=cd  

\(\Leftrightarrow\)cb+db-cd+1-b²=0  

\(\Leftrightarrow\) b(c-b)-d(c-b)+1=0  

\(\Leftrightarrow\) (b-d)(c-b)=-1  

Ta lại có :a,b,c,d,nguyên nên (b-d) và (c-b) nguyên  

Mà (b-d)(c-b)=-1 nên có 2 trường hợp  

TH1: b-d=-1 và c-b=1  

\(\Leftrightarrow\) d=b+1 và c=b+1  

\(\Rightarrow\) c=d  (1)

TH2: b-d=1 và c-b=-1  

\(\Leftrightarrow\) d=b-1 và c=b-1  

\(\Rightarrow\) c=d   (2)

Vậy từ (1) và (2) ta có c=d.