Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Trương Mỹ Hoa

Cho các số nguyên a,b,c thỏa mãn a + b + c = 2040. Chứng minh: a^5 + b^5 + c^5 chia hết cho 30

headsot96
21 tháng 7 2019 lúc 11:24

Ta có : \(a^5-a=a\left(a^4-1\right)=a\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right)=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)\)

\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2-4+5\right)\)

\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a-2\right)\left(a+2\right)+5a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)

Vì \(a-2,a-1,a,a+1,a+2\) là 5 số nguyên liên tiếp nên h của chúng chia hết cho 5 và chia hết cho 2

\(=>a^5-a⋮5\)(1)

Mà a-1 và a+1 là 2 số tự nhiên liên tiếp nên h chúng chia hết cho 2 

\(a^5-a⋮2\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(a^5-a⋮30\)

Tương tự ta có : \(b^5-b⋮30;c^5-c⋮30\)

\(=>a^5+b^5+c^5-\left(a+b+c\right)⋮30\)

Mà \(a+b+c=2020⋮30\) nên \(a^5+b^5+c^5⋮30\)


Các câu hỏi tương tự
kevinbin
Xem chi tiết
Phạm Xuân Sơn
Xem chi tiết
Duy Phạm
Xem chi tiết
tep.
Xem chi tiết
Hùng Phan Đức
Xem chi tiết
Dương Tuấn mINH
Xem chi tiết
Đinh Phương Linh
Xem chi tiết
Trần Lê Anh Quân
Xem chi tiết
Vũ Anh Quân
Xem chi tiết