Question

Cho các số nguyên a, b, c, d sao cho a + b = c + d và a.b + 1 = c.d 

Chứng minh c = d.

Answer 1

 a+b=c+d => a=c+d-b 
thay vào ab+1=cd 
=> (c+d-b)*b+1=cd 
<=> cb+db-cd+1-b^2=0 
<=> b(c-b)-d(c-b)+1=0 
<=> (b-d)(c-b)=-1 
a,b,c,d,nguyên nên (b-d) và (c-b) nguyên 
mà (b-d)(c-b)=-1 nên có 2 TH: 
TH1: b-d=-1 và c-b=1 
<=> d=b+1 và c=b+1 
=> c=d 
TH2: b-d=1 và c-b=-1 
<=> d=b-1 và c=b-1 
=> c=d 
Vậy từ 2 TH ta có c=d.

Answer 2

Đặt (a;c)=q thì a=qa1;c=qc1 (Vs (a1;c1=1)
Suy ra ab=cd ⇔ba1=dc1
Dẫn đến d⋮a1 đặt d=a1d1 thay vào đc:
b=d1c1
Vậy an+bn+cn+dn=q2an1+dn1cn1+qncn1+an1dn1=(cn1+an1)(dn1+qn)
là hợp số (QED) 

Answer 3

=> a=c+d-b 
thay vào ab+1=cd 
=> (c+d-b)*b+1=cd 
<=> cb+db-cd+1-b^2=0 
<=> b(c-b)-d(c-b)+1=0 
<=> (b-d)(c-b)=-1 
a,b,c,d,nguyên nên (b-d) và (c-b) nguyên 
mà (b-d)(c-b)=-1 nên có 2 TH: 
TH1: b-d=-1 và c-b=1 
<=> d=b+1 và c=b+1 
=> c=d 
TH2: b-d=1 và c-b=-1 
<=> d=b-1 và c=b-1 
=> c=d 
Vậy từ 2 TH ta có c=d.

Answer 4

 a + b = c + d 
=> a = (c + d) - b 
Thay vào biểu thức ab + 1 = cd 
[(c + d) - b].b + 1 = cd 
<=> bc + bd - b^2 + 1 = cd 
<=> bc + bd - b^2 - cd = -1 
<=> b(d - b) - c(d - b) = -1 
<=> (b - c)(b - d) = 1 
Vì b,c,d nguyên => b - c và b - d cũng nguyên 
Do đó chỉ xảy ra hai khả năng sau : 
* b - c = 1 và b - d = 1 
=> b = 1 + c và b = 1 + d 
=> 1 + c = 1 + d (cùng bằng b) 
=> c = d 
* b - c = -1 và b - d = -1 
Tương tự ta cũng có c = d 

----> đpcm