Câu hỏi của tran khanh my

Question

cho các số dương x,y,z thỏa mãn:x+y+z$\le$3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:$A=\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}+\sqrt{1+z^2}+2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)$giải chi tiết hộ mình nhá

Thắng Nguyễn · Accepted Answer

Dự đoán $x=y=z=1$ ta tính được $A=6+3\sqrt{2}$Ta sẽ c/m nó là GTLN của AThật vậy, ta cần chứng minh $Σ\left(2+\sqrt{2}-2\sqrt{x}-\sqrt{1+x^2}\right)\ge0$$\LeftrightarrowΣ\left(\frac{2\left(1-x\right)}{1+\sqrt{x}}+\frac{1-x^2}{\sqrt{2}+\sqrt{1+x^2}}\right)\ge0$$\LeftrightarrowΣ\left(x-1\right)\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{2}{1+\sqrt{x}}-\frac{x+1}{\sqrt{2}+\sqrt{1+x^2}}\right)+\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(3-x-y-z\right)\ge0$$\LeftrightarrowΣ\left(x-1\right)^2\left(\frac{1}{\left(1+\sqrt{x}\right)^2}-\frac{x+1}{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+\sqrt{1+x^2}\right)\left(\sqrt{2}x+\sqrt{1+x^2}\right)}\right)+\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(3-x-y-z\right)\ge0$BĐT cuối đủ để chứng minh $\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+\sqrt{1+x^2}\right)\left(\sqrt{2}x+\sqrt{1+x^2}\right)\ge\left(x+1\right)\left(1+\sqrt{x}\right)^2$Đặt $1+x=2k\sqrt{x}$. Hence, theo Cauchy-Schwarz:$\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+\sqrt{1+x^2}\right)\left(\sqrt{2}x+\sqrt{1+x^2}\right)$$=\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{2\left(1+x^2\right)}\right)\left(\sqrt{2}x+\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{2\left(1+x^2\right)}\right)$$\ge\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+\frac{x+1}{\sqrt{2}}\right)\left(\sqrt{2}x+\frac{x+1}{\sqrt{2}}\right)$$=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(x+3\right)\left(3x+1\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(3x^2+10x+3\right)$$=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(3\left(4k^2-2\right)x+10x\right)2\sqrt{2}x\left(3k^2+1\right)$Mặt khác $\left(x+1\right)\left(1+\sqrt{x}\right)^2=\left(x+1\right)\left(x+1+2\sqrt{x}\right)$$=2k\left(2k+2\right)x=4k\left(k+1\right)x$. Có nghĩa là ta cần phải c/m$3k^2+1\ge\sqrt{2}k\left(k+1\right)\Leftrightarrow\left(3-\sqrt{2}\right)k^2-2\sqrt{k}+1\ge0$Nó đúng theo AM-GM$\left(3-\sqrt{2}\right)k^2-\sqrt{2}k+1\ge\left(2\sqrt{3-\sqrt{2}}-\sqrt{2}\right)k\ge0$Hơi đẹp nhỉ nhưng xong r` đó :DCâu trả lời: Dự đoán $x=y=z=1$ ta tính được $A=6+3\sqrt{2}$Ta sẽ c/m nó là GTLN của AThật vậy, ta cần chứng minh $Σ\left(2+\sqrt{2}-2\sqrt{x}-\sqrt{1+x^2}\right)\ge0$$\LeftrightarrowΣ\left(\frac{2\left(1-x\right)}{1+\sqrt{x}}+\frac{1-x^2}{\sqrt{2}+\sqrt{1+x^2}}\right)\ge0$$\LeftrightarrowΣ\left(x-1\right)\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{2}{1+\sqrt{x}}-\frac{x+1}{\sqrt{2}+\sqrt{1+x^2}}\right)+\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(3-x-y-z\right)\ge0$$\LeftrightarrowΣ\left(x-1\right)^2\left(\frac{1}{\left(1+\sqrt{x}\right)^2}-\frac{x+1}{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+\sqrt{1+x^2}\right)\left(\sqrt{2}x+\sqrt{1+x^2}\right)}\right)+\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(3-x-y-z\right)\ge0$BĐT cuối đủ để chứng minh $\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+\sqrt{1+x^2}\right)\left(\sqrt{2}x+\sqrt{1+x^2}\right)\ge\left(x+1\right)\left(1+\sqrt{x}\right)^2$Đặt $1+x=2k\sqrt{x}$. Hence, theo Cauchy-Schwarz:$\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+\sqrt{1+x^2}\right)\left(\sqrt{2}x+\sqrt{1+x^2}\right)$$=\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{2\left(1+x^2\right)}\right)\left(\sqrt{2}x+\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{2\left(1+x^2\right)}\right)$$\ge\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+\frac{x+1}{\sqrt{2}}\right)\left(\sqrt{2}x+\frac{x+1}{\sqrt{2}}\right)$$=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(x+3\right)\left(3x+1\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(3x^2+10x+3\right)$$=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(3\left(4k^2-2\right)x+10x\right)2\sqrt{2}x\left(3k^2+1\right)$Mặt khác $\left(x+1\right)\left(1+\sqrt{x}\right)^2=\left(x+1\right)\left(x+1+2\sqrt{x}\right)$$=2k\left(2k+2\right)x=4k\left(k+1\right)x$. Có nghĩa là ta cần phải c/m$3k^2+1\ge\sqrt{2}k\left(k+1\right)\Leftrightarrow\left(3-\sqrt{2}\right)k^2-2\sqrt{k}+1\ge0$Nó đúng theo AM-GM$\left(3-\sqrt{2}\right)k^2-\sqrt{2}k+1\ge\left(2\sqrt{3-\sqrt{2}}-\sqrt{2}\right)k\ge0$Hơi đẹp nhỉ nhưng xong r` đó :D

Lầy Văn Lội · Answer

bunyakovsky:$\left(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{2x}\right)^2\le2\left(x+1\right)^2$$\Leftrightarrow\sqrt{1+x^2}+\sqrt{2}.\sqrt{x}\le\sqrt{2}\left(x+1\right)$ tương tự :phần còn lại + thêm với$\left(2-\sqrt{2}\right)\left(x+y+z\right)$Câu trả lời: bunyakovsky:$\left(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{2x}\right)^2\le2\left(x+1\right)^2$$\Leftrightarrow\sqrt{1+x^2}+\sqrt{2}.\sqrt{x}\le\sqrt{2}\left(x+1\right)$ tương tự :phần còn lại + thêm với$\left(2-\sqrt{2}\right)\left(x+y+z\right)$

Khoá học trên OLM (olm.vn)

Khoá học trên OLM (olm.vn)