\(P=\frac{1}{16x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{z}=\frac{1\div16}{16x\div16}+\frac{1\div4}{4y\div4}+\frac{1}{z}=\frac{\frac{1}{16}}{x}+\frac{\frac{1}{4}}{y}+\frac{1}{z}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(P=\frac{\frac{1}{16}}{x}+\frac{\frac{1}{4}}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+1\right)^2}{x+y+z}=\frac{\left(\frac{7}{4}\right)^2}{1}=\frac{49}{16}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\frac{\frac{1}{16}}{x}=\frac{\frac{1}{4}}{y}=\frac{1}{z}\). Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(\frac{\frac{1}{16}}{x}=\frac{\frac{1}{4}}{y}=\frac{1}{z}=\frac{\frac{1}{16}+\frac{1}{4}+1}{x+y+z}=\frac{21}{16}\)=> \(\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{21}\\y=\frac{4}{21}\\z=\frac{16}{21}\end{cases}}\)
Vậy MinP = 49/16
