Question

cho các số dương x,y thõa mãn x+y=2. tim giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P=\((2x+\frac{1}{x})^2+(2y+\frac{1}{y})^2+2001\)

mong giúp mk giải

 

Answer 1

\(P=\left(2x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(2y+\frac{1}{y}\right)^2+2001\)

\(P=4x^2+\frac{1}{x^2}+4+4y^2+\frac{1}{y^2}+4+2001\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(x^2+y^2\ge2xy\)

\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}=\frac{2^2}{2}=2\)

Dấu " = " xảy ra <=> x=y=1

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(P\ge3\left(x^2+y^2\right)+2.\sqrt{x^2.\frac{1}{x^2}}+2.\sqrt{y^2.\frac{1}{y^2}}+2009\ge3.2+2+2+2009=2019\)

Dấu " = " xảy ra <=> x=y=1

KL:......................................