Question

Cho các số dương x và y thỏa mãn: \(\sqrt{x}+\sqrt{y}-2\ge0\)

Chứng minh: \(xy\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}-2\right)+x^2\left(\sqrt{x}-1\right)+y^2\left(\sqrt{y}-1\right)\ge0\)

Answer 1

dễ thấy với điệu kiện đề bài thì xy(\(\sqrt{x}+\sqrt{y}-2.\))\(\ge0\)

 Vì x;y có vai trò ngang nhau nên giả sử x\(\ge y\)

đặt \(x^2=a,y^2=b;\sqrt{x}-1=m;\sqrt{y-1}=n\)=> am+bn= \(x^2\left(\sqrt{x}-1\right)+y^2\left(\sqrt{y}-1\right)\)

thì ta có \(a\ge b;m\ge n\)

=> (a-b)(m-n) \(\ge0< =>am+bn\ge an+bm< =>2am+2bn\ge\left(a+b\right)\left(m+m\right)\)

<=>\(am+bn\ge\frac{\left(a+b\right)\left(m+n\right)}{2}=\frac{\left(x^2+y^2\right)\left(\sqrt{x}-1+\sqrt{y}-1\right)}{2}\ge0\)

hay am+bn\(\ge0\)

vậy vế trái luôn lớn hơn bằng 0

dấu"="  khi \(\sqrt{x}+\sqrt{y}-2=0\)