Dự đoán dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Khi đó \(\frac{a^4}{b+2}=\frac{1}{3}\)
Ta cần ghép \(\frac{a^4}{b+2}\)với hạng tử \(k\left(b+2\right)\)thỏa mãn khi Cô-si thì dấu "=" xảy ra khi \(a=b=1\)
Lại có \(b+2=3\)
Đồng thời khi Cô-si dấu "=" xảy ra khi \(\frac{a^4}{b+2}=k\left(b+2\right)\)hay \(\frac{1}{3}=k.3\)\(\Leftrightarrow k=\frac{1}{9}\)
Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương \(\frac{a^4}{b+2}\)và \(\frac{b+2}{9}\), ta có:
\(\frac{a^4}{b+2}+\text{}\frac{b+2}{9}\ge2\sqrt{\frac{a^4}{b+2}.\frac{b+2}{9}}=\frac{2a^2}{3}\)
Tương tự, ta có \(\frac{b^4}{c+2}+\text{}\frac{c+2}{9}\ge2\sqrt{\frac{b^4}{c+2}.\frac{c+2}{9}}=\frac{2b^2}{3}\)và
\(\frac{c^4}{a+2}+\text{}\frac{a+2}{9}\ge2\sqrt{\frac{c^4}{a+2}.\frac{a+2}{9}}=\frac{2c^2}{3}\)
CỘng vế theo vế từng BĐT, ta được \(P+\frac{a+2+b+2+c+2}{9}\ge\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{3}\)
\(\Leftrightarrow P+\frac{\left(a+b+c\right)+6}{9}\ge2\)(vì \(a^2+b^2+c^2=3\)) \(\Leftrightarrow P\ge2-\frac{\left(a+b+c\right)+6}{9}\)(1)
Ta chứng minh BĐT phụ \(a+b+c\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)(với \(a,b,c>0\))
Thật vậy, BĐT này \(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\le3a^2+3b^2+3c^2\)\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Vậy BĐT phụ được chứng minh \(\Rightarrow a+b+c\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\sqrt{3.3}=3\)(2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow P\ge2-\frac{3+6}{9}=1\)\(\Rightarrow min_P=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Áp dụng BĐT Cô-si:
\(\left(a^2+1\right)+\left(b^2+1\right)+\left(c^2+1\right)\ge2a+2b+2c\)
\(\Rightarrow a+b+c\le\dfrac{a^2+b^2+c^2+3}{2}=3\)
\(\Rightarrow-\left(a+b+c\right)\ge-3\)
Vẫn áp dụng Cô-si:
\(\dfrac{a^4}{b+2}+\dfrac{b+2}{9}\ge2\sqrt{\dfrac{a^4\left(b+2\right)}{\left(b+2\right)9}}=\dfrac{2a^2}{3}\)
Tương tự: \(\dfrac{b^4}{c+2}+\dfrac{c+2}{9}\ge\dfrac{2b^2}{3}\) ; \(\dfrac{c^4}{a+2}+\dfrac{a+2}{9}\ge\dfrac{2c^2}{3}\)
Cộng vế:
\(P+\dfrac{a+b+c+6}{9}\ge\dfrac{2}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)=2\)
\(\Rightarrow P\ge2-\dfrac{1}{9}\left(a+b+c\right)-\dfrac{6}{9}\ge2-\dfrac{1}{9}.3-\dfrac{6}{9}=1\)
\(P_{min}=1\) khi \(a=b=c=1\)