vì a, b, c > 0 nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
\(\frac{a}{c}+\frac{a}{c}+\frac{c}{b}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^2}{bc}}=3a\) (vì \(abc\le1\Rightarrow\frac{1}{bc}\ge a\))
tương tự: \(\frac{b}{a}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}\ge3b\); \(\frac{c}{b}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}\ge3c\)
\(\Rightarrow3\left(\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\right)\ge3\left(a+b+c\right)\Leftrightarrowđpcm\)
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc =1 . Chứng minh rằng \(\frac{a}{\left(ab+a+1\right)^2}+\frac{b}{\left(bc+b+1\right)^2}+\frac{c}{\left(ca+c+1\right)^2}\ge\frac{1}{a+b+c}\)
Đẳng thức xảy ra khi nào ?
1.Cho 3 số thực a,b,c không âm thỏa mãn a+b+c=1. CMR
\(b+c\ge16abc\). Dấu = xảy ra khi nào?
2. Cho x,y,z là các số thực khác 0 và \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)CMR:
\(\frac{xy}{x^2}+\frac{xz}{y^2}+\frac{xy}{z^2}=3\)
Cho các số thực dương thỏa mãn: \(a+b+c\le2\)
CMR: \(P=a+b-2c-\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge4\). Dấu bằng xảy ra khi nào?
cho a>0,b>0,c>0
cmr \(\frac{2ab}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}+\frac{2bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{2ca}{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}\ge\frac{5}{3}\)
dấu "=" xảy ra khi nào
cho a , b , c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc = 1 . CMR : \(\frac{a}{a^3+a+1}+\frac{b}{b^3+b+1}+\frac{c}{c^3+c+1}\le1\)
Cho a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng:
\(\frac{a}{c}+\frac{c}{b}\ge\frac{4a}{a+b}\)
Dấu bằng xảy ra khi nào?
cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1.CMR
\(\left(a-1+\frac{1}{b}\right)\left(b-1+\frac{1}{c}\right)\left(c-1+\frac{1}{a}\right)\le1\)
a) Cho a,b,c là 3 số hữu tỉ thỏa mãn abc=1
và \(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{a^2}=\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}\)
b) cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c=3
cmr \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge\frac{3}{2}\)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1.CMR:
\(\frac{b+c}{\sqrt{a}}+\frac{c+a}{\sqrt{b}}+\frac{a+b}{\sqrt{c}}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3\)
