Question

cho C=2+2^2+2^3+...+2^100

CMR C chia hết cho 31

Answer 1

C = 2 + 2² + 2³ + ...+ 2¹⁰⁰

Ta chia C thành 20 nhóm 5 số hạng liên tiếp:

C = (2 + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵)  + (2⁶ + 2⁷ + 2⁸ + 2⁹ + 2¹⁰) + ...+ (2⁹⁶ + 2⁹⁷+ 2⁹⁸ + 2⁹⁹ + 2¹⁰⁰⁾

   = 2 (1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴) + 2⁶(1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴) + ...+ 2⁹⁶(1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴)

  = (1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴) (2 + 2⁶ + ...+ 2⁹⁶)

  = (1 + 2 + 4 + 8 + 16). (2 + 2⁶ + ...+ 2⁹⁶)

  = 31. (2 + 2⁶ + ...+ 2⁹⁶)

Dễ thấy C chia hết cho 31.