A = \(\left(a^{2019}+b^{2019}+c^{2019}\right)-\left(a^{2015}+b^{2015}+c^{2015}\right)\)
=> A = \(a^{2019}+b^{2019}+c^{2019}-a^{2015}-b^{2015}-c^{2015}\)
=> A = \(a^{2019}-a^{2015}+b^{2019}-b^{2015}+c^{2019}-c^{2015}\)
=> A = \(a^{2015}\left(a^4-1\right)+b^{2015}\left(b^4-1\right)+c^{2015}\left(c^4-1\right)\)
Chứng minh A chia hết cho 2 : Nấu a, b, c là các số lẻ thì \(a^4-1,b^4-1,c^4-1\)là các số chẫn
=> A là số chẵn => A chia hết cho 2
Nếu a, b, c là số chẵn thì \(a^{2015},b^{2015},c^{2015}\)là số chẫn => A là số chẵn => A chia hết cho 2
Chứng minh A chia hết cho 5:
Xét số tự nhiên n không chia hết cho 5, chứng minh \(n^4-1\)chia hết cho 5
Ta có : \(n=5k\pm1,n=5k\pm2\)với k là số thự nhiên
\(n^2\)có 1 trong 2 dạng : \(n^2=5k+1\)hoặc \(n^2=5k+4\)
\(n^4\)có duy nhất dang : \(n^4=5k+1\Rightarrow n^4-4=5k\)chia hết cho 5
Áp dụng vói n = a,b,c ta có :
A = \(a^{2015}\left(a^4-1\right)+b^{2015}\left(b^4-1\right)+c^{2015}\left(c^4-1\right)\)chia hết cho 5
Chứng minh A chia hết cho 3
Xét với n là số chính phương thì \(n^2\)chia 3 dư 0 hoặc 1
Do đó nếu \(n^2\)chia 3 dư 0 => A chia hết cho 3 với n = a,b,c
Nếu \(n^2\)chia 3 dư 1 thì \(n^4\)chia 3 dư 1 => \(n^4\)- 1 chia hết cho 3
=> A chia hết cho 3 với n = a,b,c
Vậy A chia hết cho 2 ; 3 ; 5 mà ( 2;3;5 ) = 1
=> A chia hết cho 30
