Question

Cho biểu thức \(S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^n}\)

Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để S > 1,999

3like chào xuân bạn nhé càng nhanh càng nhiều .

Answer 1

\(S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^n}\)

\(\Rightarrow2S=2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+....+\frac{1}{2^{n-1}}\)

\(\Rightarrow2S-S=\left(2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{n-1}}\right)-\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+..+\frac{1}{2^n}\right)=2-\frac{1}{2^n}\)

\(\Rightarrow S=2-\frac{1}{2^n}>1,999=\frac{1999}{1000}\Rightarrow\frac{1}{2^n}>2-\frac{1999}{1000}=\frac{1}{1000}\Rightarrow\frac{1}{2^n}>\frac{1}{1000}\)

=>2ⁿ>1000

mà n là số nguyên dương nhỏ nhất=>n=10 (2¹⁰=1024>1000)

vậy n=10