a)
\(A=\frac{\left(a^3+a^2\right)+\left(a^2-1\right)}{\left(a^3+a^2\right)+\left(a^2+a\right)+\left(a+1\right)}=\frac{a^2\left(a+1\right)+\left(a+1\right)\left(a+1\right)}{a^2\left(a+1\right)+a\left(a+1\right)+\left(a+1\right)}=\frac{\left(a+1\right)\left(a^2+a-1\right)}{\left(a+1\right)\left(a^2+a+1\right)}=\frac{a^2+a-1}{a^2+a-1}\)
b) gọi d = ƯCLN (a2 + a - 1; a2 + a +1 )
=> a2 + a - 1 chia hết cho d
a2 + a +1 chia hết cho d
=> (a2 + a + 1) - (a2 + a - 1) chia hết cho d => 2 chia hết cho d
=> d = 1 hoặc d = 2
Nhận xét: a2 + a -1 = a.(a+1) - 1 . Với số nguyên a ta có a(a+1) là tích 2 số nguyên liên tiếp => a.(a+1) chia hết cho 2
=> a(a+1) - 1 lẻ => a2 + a - 1 lẻ
=> d không thể = 2
Vậy d = 1 => đpcm
Bạn ơi phần a sai rồi. phải là a^2+a-1/a^2+a+1
bạn ơi, kết quả phải là : \(\frac{a^2+a-1}{a^2+a+1}\)
cach 2 phan b
Nó là phân số tối giản suy ra UCLN(a^2+a-1;a^2+a+1)=1
Nếu a là số lẻ thì a^2+a-1;a^2+a+1 là số chẵn
Nếu a là số chẵn thì a^2 +a-1 ;a^2+a+1 là số chẵn
Suy ra a^2+a-1 ;a^2+a+1 là số chẵn
Mà a^2+a-1;a^2+a+1 là 2 số tự nhiên liên tiếp
Suy ra UCLN(a^2+a+1;a^2+a-1)=1 suy ra TMDK
Giải
a, Ta có: A=\(\frac{a^3+2a^2-1}{a^3+2a^2+2a+1}\)=\(\frac{\left(a^3+a^2\right)+\left(a^2-1\right)}{\left(a^3+a^2\right)+\left(a^2+a\right)+\left(a+1\right)}\)=\(\frac{a^2\left(a+1\right)+\left(a+1\right)\left(a-1\right)}{a^2\left(a+1\right)+a\left(a+1\right)+a\left(a+1\right)}\)=\(\frac{\left(a+1\right)\left(a^2+a-1\right)}{\left(a+1\right)\left(a^2+a-1\right)}\)=\(\frac{a^2+a-1}{a^2+a+1}\)
b,Gọi d=ƯCLN(a2+a+1;a2+a-1)
\(\Rightarrow\)a2+a+1\(⋮\)d và a2+a-1\(⋮\)d
\(\Rightarrow\)a2+a+1-(a2+a-1)=2\(⋮\)d
\(\Rightarrow\)d={-2;-2;1;2} (1)
Ta lại có: Nếu a là số lẻ thì: a2+a+1 và a2+a-1 là số lẻ
Nếu a là số chẵn thì: a2+a+1 và a2+a-1 là số lẻ
\(\Rightarrow\)a2+a+1 và a2+a-1 là số lẻ với mọi a hay 2 số này không có ước số chẵn (2)
Từ (1) và (2)\(\Rightarrow d=\){-1;1}
Vậy A là phân số tối giản
a. Ta có biến đổi:
\(A=\frac{a^3+2a^2-1}{a^3+2a^3+2a+1}\)
\(A=\frac{\left(a+1\right)\left(a^2+a-1\right)}{\left(a+1\right)\left(a^2+a+1\right)}\)
\(A=\frac{a^2+a-1}{a^2+a+1}\)
b. Gọi d là ước chung lớn nhất của \(a^2+a-1\)và \(a^2+a+1\)
Vì \(a^2+a-1=a\left(a+1\right)-1\)là số lẻ nên d là số lẻ
Mặt khác, \(2=\left[a^2+a+1-\left(a^2+a-1\right)\right]⋮d\)
Nên d = 1 tức là \(a^2+a+1\)và \(a^2+a-1\)nguyên tố cùng nhau.
Vậy biểu thức A là phân số tối giản.
