Question

cho biểu thức A=(a^2012+b^2012+c^2012)-(a^2008+b^2008+c^2008) , với a,b,c là các số nguyên dương . CM A chia hết cho 30

Answer 1

\(A=\left(a^{2012}-a^{2008}\right)+\left(b^{2012}-b^{2008}\right)+\left(c^{2012}-c^{2008}\right)\)

\(=a^{2008}\left(a^4-1\right)+b^{2008}\left(b^4-1\right)+c^{2008}\left(c^4-1\right)\)

Chứng minh A chia hết cho 2 : Nếu a,b,c là các số lẻ thì a⁴-1 , b⁴-1 , c⁴-1 là các số chẵn

=> A là số chẵn => A chia hết cho 2

Nếu a,b,c là các số chẵn thì dễ thấy A là số chẵn => A chia hết cho 2

Vậy A chia hết cho 2

Chứng minh A chia hết cho 5 :

Xét số tự nhiên n không chia hết cho 5 , chứng minh n⁴-1 chia hết cho 5

Ta có : \(n=5k\pm1,n=5k\pm2\)với k là số tự nhiên

\(n^2\)có một trong hai dạng \(n^2=5k+1\)hoặc \(n^2=5k+4\)

\(n^4\)có dạng duy nhất : \(n^4=5k+1\Rightarrow n^4-1⋮5\)

Áp dụng với n = a,b,c được A chia hết cho 5

Chứng minh A chia hết cho 3

Xét với n là số chính phương thì n² chia 3 dư 0 hoặc 1

Do đó, nếu n² chia 3 dư 0 thì dễ thấy A chia hết cho 3 với n = a,b,c

Nếu n² chia 3 dư 1 thì n⁴ chia 3 dư 1 => n⁴-1 chia hết cho 3 => A chia hết cho 3 với n = a,b,c

Vậy n chia hết cho 2,3,5 mà (2,3,5) = 1 => A chia hết cho 30