a) \(\frac{a^3+2a^2-1}{a^3+2a^2+2a+1}=\frac{\left(a^3+a^2\right)+\left(a^2-1\right)}{\left(a^3+1\right)+\left(2a^2+2a\right)}\)
\(=\frac{a^2\left(a+1\right)+\left(a+1\right)\left(a-1\right)}{\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)+2a\left(a+1\right)}\)
\(=\frac{\left(a+1\right)\left[a^2+a-1\right]}{\left(a+1\right)\left[a^2+a+1\right]}=\frac{a^2+a-1}{a^2+a+1}\)
b) Để phân số \(\frac{a^3+2a^2-1}{a^3+2a^2+2a+1}=\frac{a^2+a-1}{a^2+a+1}\)
\(=\frac{\left(a^2+a+1\right)-2}{a^2+a+1}=1-\frac{2}{a^2+a+1}\)
Để phân số \(\frac{a^3+2a^2-1}{a^3+2a^2+2a+1}\)tối giản là \(\frac{2}{a^2+a+1}\) tối giản
=> ƯCLN(2.a2+a+1)=d \(\Rightarrow2⋮d\)
\(d=\pm1\)\(d=\pm2\)(loại) vì d là phân số tối giảnTH1: Nếu d=1 => a2+a+1=1
=> a2+a=0
=> a(a+1)=0 => a=0; a=-1
TH2: Nếu d=-1 => a2+a-1=-1
=> a2+a+2=0 (không xảy ra)
Vậy d=1
a. Ta có biến đổi:
\(A=\frac{a^3+2a^2-1}{a^3+2a^3+2a+1}\)
\(A=\frac{\left(a+1\right)\left(a^2+a-1\right)}{\left(a+1\right)\left(a^2+a+1\right)}\)
\(A=\frac{a^2+a-1}{a^2+a+1}\)
b. Gọi d là ước chung lớn nhất của \(a^2+a-1\)và \(a^2+a+1\)
Vì \(a^2+a-1=a\left(a+1\right)-1\)là số lẻ nên d là số lẻ
Mặt khác, \(2=\left[a^2+a+1-\left(a^2+a-1\right)\right]⋮d\)
Nên d = 1 tức là \(a^2+a+1\)và \(a^2+a-1\)nguyên tố cùng nhau.
Vậy biểu thức A là phân số tối giản.
