Có sử dụng 1 hằng đẳng thức lớp 8 nhé : \(a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\)
\(B=\frac{2^2}{1.3}+\frac{3^2}{2.4}+...+\frac{99^2}{98.100}\)
\(B=\frac{2^2}{\left(2-1\right)\left(2+1\right)}+\frac{3^2}{\left(3-1\right)\left(3+1\right)}+...+\frac{99^2}{\left(99-1\right)\left(99+1\right)}\)
\(B=\frac{2^2}{2^2-1}+\frac{3^2}{3^2-1}+...+\frac{99^2}{99^2-1}\)
\(B=\frac{2^2-1}{2^2-1}+\frac{1}{2^2-1}+\frac{3^2-1}{3^2-1}+\frac{1}{3^2-1}+...+\frac{99^2-1}{99^2-1}+\frac{1}{99^2-1}\)
\(B=1+\frac{1}{1.3}+1+\frac{1}{2.4}+...+1+\frac{1}{98.100}\)
\(B=\left(1+1+...+1\right)+\left(\frac{1}{1.3}+\frac{1}{2.4}+...+\frac{1}{98.100}\right)\)
Đặt \(A=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{2.4}+...+\frac{1}{98.100}\) ta có :
\(A=\frac{1}{2}\left(\frac{2}{1.3}+\frac{2}{2.4}+...+\frac{2}{98.100}\right)\)
\(A=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{98}-\frac{1}{100}\right)\)
\(A=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{98}\right)-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{100}\right)\right]\)
\(A=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\right)\)
\(A=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{198}-\frac{1}{200}\)
\(\Rightarrow\)\(B=98+A=98+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{198}-\frac{1}{200}=98+\left[\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{1}{198}+\frac{1}{200}\right)\right]\)
Ta có :
\(\frac{1}{2}>\frac{1}{198}\)
\(\frac{1}{4}>\frac{1}{200}\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}>\frac{1}{198}+\frac{1}{200}\)
\(\Rightarrow\)\(\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{1}{198}+\frac{1}{200}\right)>0\) \(\left(1\right)\)
Lại có :
\(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}< 1\)
\(\Rightarrow\)\(\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{1}{198}+\frac{1}{200}\right)< 1\) \(\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) suy ra \(0< \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{1}{198}+\frac{1}{200}\right)< 1\)
\(\Rightarrow\)\(B=98+\left[\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{1}{198}+\frac{1}{200}\right)\right]\) có phần nguyên là \(98\)
Vậy \(B\) có phần nguyên là \(98\)
Chúc bạn học tốt ~
bạn giải theo cách lớp 6 đc ko vì mk mới học lớp 6 thôi
mình giải kiểu lớp 6 đó bạn, nếu bn ko biết HĐT \(a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\) thì sử dụng cách quy đồng
Ví dụ : mẫu số \(1.3=\left(2-1\right)\left(2+1\right)=2\left(2+1\right)-1\left(2+1\right)=4+2-2-1=4-1=2^2-1\)
Tương tự mấy mẫu số khác
Chúc bạn học tốt ~
