Ta có:
\(4x^2+2y^2+2z^2-4xy-4xz+2yz-6y-10z=-34\)
\(\Leftrightarrow\) \(4x^2+2y^2+2z^2-4xy-4xz+2yz-6y-10z+34=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(4x^2-\left(4xy+4xz\right)+\left(y^2+2yz+z^2\right)+\left(y^2-6y+9\right)+\left(z^2-10z+25\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(4x^2-4x\left(y+z\right)+\left(y+z\right)^2+\left(y-3\right)^2+\left(z-5\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left[2x-\left(y+z\right)\right]^2+\left(y-3\right)^2+\left(z-5\right)^2=0\)
Mặt khác, ta lại có: \(\left[2x-\left(y+z\right)\right]^2\ge0;\) \(\left(y-3\right)^2\ge0\) và \(\left(z-5\right)^2\ge0\) với mọi \(x;\) \(y;\) \(z\)
nên \(\left[2x-\left(y+z\right)\right]^2+\left(y-3\right)^2+\left(z-5\right)^2\ge0\)
Do đó, dấu \(''=''\) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\left[2x-\left(y+z\right)\right]^2=0;\) \(\left(y-3\right)^2=0\) và \(\left(z-5\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(2x-\left(y+z\right)=0;\) \(y-3=0\) và \(z-5=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(x=\frac{y+z}{2};\) \(y=3\) và \(z=5\)
Khi đó, \(x=\frac{3+5}{2}=\frac{8}{2}=4\)
Thay các giá trị trên của các biến \(x;\) \(y;\) \(z\) lần lượt vào biểu thức \(Q\), ta được:
\(Q=\left(4-4\right)^{2014}+\left(3-4\right)^{2014}+\left(5-4\right)^{2014}=2\)
