Question

cho ba số a,b,c thỏa mãn \(\frac{1}{a}\)-\(\frac{1}{b}\)-\(\frac{1}{c}\)=\(\frac{1}{a-b-c}\).CMR trong 3 số a,b,c luôn tồn tại 2 số bằng nhau hoặc đối nhau

Answer 1

Ta có \(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}=\frac{1}{a-b-c}\)

=> \(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{1}{a-b-c}+\frac{1}{c}\)

=> \(\frac{b-a}{ab}=\frac{a-b}{\left(a-b-c\right)c}\)

Khi b - a = 0

=> (b - a)(a - c)(b + c) = 0 (1)

Khi b - a \(\ne0\)

=> ab = -(a - b - c).c

=> ab = -ac + bc + c² 

=> ab + ac - bc - c² = 0

=> a(b + c) - c(b + c) = 0

=> (a - c)(b + c) = 0

=> (b - a)(a - c)(b + c) = 0 (2)

Từ (1)(2) => (b - a)(a - c)(b + c) = 0

=> b - a = 0 hoặc a - c = 0 hoặc b + c = 0

=> a = b hoặc a = c hoặc b = -c

Vậy tồn tại 2 số bằng nhau hoặc đối nhau