Question

Cho ba đường thẳng: 𝑑1 : 𝑦 = 𝑚𝑥 − 𝑚 + 1;  𝑑2 : 𝑦 = 2𝑥 + 3 𝑣à  𝑑3 : 𝑦 = 𝑥 + 1.

1. Chứng minh khi m thay đổi đường thẳng 𝑑1 luôn đi qua một điểm cố định.

2. Tìm m để ba đường thẳng trên cắt nhau tại một điểm. 

Answer 1

1) Gọi điểm cố định là \(M\left(x_0;y_0\right)\)

\(\Leftrightarrow mx_0-m+1=y_0\)  \(\left(\forall m\right)\)

\(\Leftrightarrow m\left(x_0-1\right)=y_0-1\)  \(\left(\forall m\right)\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0-1=0\\y_0-1=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=1\\y_0=1\end{matrix}\right.\)

  Vậy (d₁) luôn đi qua điểm cố định \(\left(1;1\right)\)

2) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d₂) và (d₃)

  \(2x+3=x+1\) \(\Leftrightarrow x=-2\), thay vào (d₃) ta được \(y=-1\)

\(\Rightarrow\) (d₃) cắt (d₂) tại \(F\left(-2;-1\right)\)

Để 3 đường cắt nhau tại 1 điểm \(\Leftrightarrow F\in\left(d_1\right)\)

\(\Leftrightarrow-2m-m+1=-1\) \(\Leftrightarrow m=\dfrac{2}{3}\)

  Vậy ...