Question

cho \(b^2=ac\)   ;        \(c^2=bd\)   . Với b,c,d khác 0;    \(b^3+c^3\) khác d

chứng minh :   \(\frac{a^3+b^3-c^3}{b^3+c^3-d^3}=\left(\frac{a+b-c}{b+c-d}\right)^3\)

Answer 1

\(b^2=ac\) =>\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\) (1)

\(c^2=bd\) =>\(\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\) (2)

từ (1) và (2) => \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\)

áp dụng tích chất dãy tỉ số bằng nhau ta có

\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\frac{a+b-c}{b+c-d}=>\frac{a^3}{b^3}=\frac{b^3}{c^3}=\frac{c^3}{d^3}=\frac{\left(a+b-c\right)^3}{\left(b+c-d\right)^3}\)

=> \(\frac{a^3+b^3-c^3}{b^3+c^3-d^3}=\frac{\left(a+b-c\right)^3}{\left(b+c-d\right)^3}\)

 

Answer 2

Ta có: b2=ac⇒ab=bc

c2=bd⇒bc=cd

⇒ab=bc=cd

Đặt ab=bc=cd=k

⇒a=bk,b=ck,c=dk

Ta có:

(a+b−cb+c−d)3=(bk+ck−dkb+c−d)3=[k(b+c−d)b+c−d]3=k3 (1)

(2a+3b−4c2b+3c−4d)2=(2bk+3ck−4dk2b+3c−4d)3=[k(2b+3c−4d)2b+3c−4d]3=k3 (2)

Từ (1) và (2) suy ra (a+b−cb+c−d)3=(2a+3b−4c2b+3c−4d)3 ( đpcm )