Question

Cho \(ax^3=by^3=cz^3\)và\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)

Chứng minh rằng \(\sqrt[3]{ax^3+by^3+cz^3}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\)

Answer 1

Gọi vế trái là T, vế phải là P, ta có:

\(T=\sqrt[3]{\frac{ax^3}{x}+\frac{by^3}{y}+\frac{cz^3}{z}}=\sqrt[3]{\frac{ax^3}{x}+\frac{ax^3}{y}+\frac{qx^3}{z}}\)

\(T=\sqrt[3]{ax^3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)}=x\sqrt[3]{a}\)

\(\Rightarrow\sqrt[3]{a}=\frac{T}{x}\)

Tương tự \(\sqrt[3]{b}=\frac{T}{y};\sqrt[3]{c}=\frac{T}{z}\)

Vậy\(P=T\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=T\)

Answer 2

đây là câu hỏi của bạn mình nhờ đăng thôi 

Answer 3

giả thiết: ax³ = by² = cz³ và \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\Rightarrow x,y,z\ne0\)^. Vì vậy, ta có:

\(ax^2=\frac{by^3}{x}=\frac{cz^2}{x}\)

\(by^2=\frac{cz^3}{y}=\frac{ax^3}{y}\)

\(cz^2=\frac{ax^3}{z}=\frac{by^3}{z}\)

\(\Rightarrow2\left(ax^2+by^2+cz^2\right)=ax^3\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)+by^3\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)+cz^3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)

\(\Rightarrow2ax^3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=2ax^3\)(Rút ax³ làm thừa số chung)

\(\Rightarrow ax^3+by^3+cz^3=ax^3\)

\(\Rightarrow\sqrt[3]{\left(ax^2+by^2+cz^2\right)}=x\sqrt[3]{a}\)

\(\Rightarrow\left(\frac{1}{x}\right)\sqrt[3]{\left(ax^2+by^2+cz^2\right)}=\sqrt[3]{a}\)(1)

Tương tự, ta có:

\(\left(\frac{1}{y}\right)\sqrt[3]{\left(ax^2+by^2+cz^2\right)}=\sqrt[3]{b}\)(2)

\(\left(\frac{1}{z}\right)\sqrt[3]{\left(ax^2+by^2+cz^2\right)}=\sqrt[3]{c}\)(3)

Ta cộng (1) + (2) + (3) lại, ta có: 

\(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt[3]{\left(ax^2+by^2+cz^2\right)}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\)

Answer 4

Em xem lại đề nhé!!! Nếu đặt T là Vế trái thì 

Đề phải là:

Chứng minh: \(\sqrt{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\)

Nếu đề như này thì bài làm của em mới đúng Việt nhé!!

Answer 5

\(T=\sqrt[3]{\frac{ax^3}{x}+\frac{by^3}{y}+\frac{cz^3}{z}=\sqrt[3]{\frac{ax^3}{x}+\frac{ax^3}{y}+\frac{qx^3}{z}}}\)

\(T=\sqrt[3]{ax^3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=x\sqrt[3]{a}}\)

\(\Rightarrow\sqrt[3]{a}=\frac{T}{x}\)

\(Tương\)\(tự\)\(\sqrt[3]{b}=\frac{T}{y};\sqrt[3]{c}=\frac{T}{z}\)

Vậy\(P=T\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=T\)