Đặt \(Q=\sqrt[3]{ax^{2\:}+by^2+cz^2}=\sqrt[3]{\frac{ax^3}{x}+\frac{by^3}{y}+\frac{cz^3}{z}}\)
\(=\sqrt[3]{\frac{ax^3}{x}+\frac{ax^3}{y}+\frac{ax^3}{z}}=\sqrt[3]{ax^3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)}=\sqrt[3]{ax^{3\:}}=x\sqrt[3]{a}\)
\(\Rightarrow\sqrt[3]{a}=\frac{Q}{x}\)
Tương tự ta có: \(\hept{\begin{cases}\sqrt[3]{b}=\frac{Q}{y}\\\sqrt[3]{c}=\frac{Q}{z}\end{cases}}\)
\(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}=\frac{Q}{x}+\frac{Q}{y}+\frac{Q}{z}=Q\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=Q\)
Vậy....
Đẳng thức cần chứng minh tương đương với
\(ax^2+by^2+cz^2=\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\right)^3\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(VT=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\left(ax^2+by^2+cz^2\right)\)
\(\ge\left(\sqrt[3]{\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{x}\cdot ax^2}+\sqrt[3]{\frac{1}{y}\cdot\frac{1}{y}\cdot by^2}+\sqrt[3]{\frac{1}{z}\cdot\frac{1}{z}\cdot cz^2}\right)^3\)
\(=\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\right)^3=VP\)
Do \(ax^2=by^2=cz^2\) nên đẳng thức có xảy ra
Thắng Nguyễn - Trang của Thắng Nguyễn - Học toán với OnlineMath cosi chỉ dùng cho số không âm thôi nhé. Ở đây không có cho x, y, z, a, b, c không âm nha. Nên không dùng cosi được nhé.
Cái ông dùng đấy có dạng vầy đúng không.
\(\left(a+b+c\right)\left(x+y+z\right)\left(m+n+p\right)\ge\left(\sqrt[3]{axm}+\sqrt[3]{byn}+\sqrt[3]{czp}\right)^3\)
Vì đề bài các số đó thuộc R nên cái này không dùng được
T ví dụ nhé.
\(\left(1-1-1\right)\left(1+1+1\right)\left(1+1+1\right)\ge\left(\sqrt[3]{1}+\sqrt[3]{-1}+\sqrt[3]{-1}\right)^3\)
\(\Leftrightarrow-9\ge-1\) cái này đâu có đúng đâu.
PS: Do ông nói áp dụng cosi ta có đấy ở trên bài làm ấy.
alibaba nguyễn:cái tui nói là C-S tức là Bunhia rộng ra là Holder đó :v mà holder hình như cho số nào cũng dc mà :v
Bất đẳng thức holder : Cho a,b,c,m,n,p,x,y,z là các SỐ THỰC DƯƠNG. Khi đó ta có:
\(\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(m^3+n^3+p^3\right)\left(x^3+y^3+z^3\right)\ge\left(amx+bny+cpz\right)^3\)
CM: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
\(\frac{a^3}{a^3+b^3+c^3}+\frac{x^3}{x^3+y^3+z^3}+\frac{m^3}{m^3+n^3+p^3}\ge\frac{3axm}{\sqrt[3]{\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(m^3+n^3+p^3\right)\left(x^3+y^3+z^3\right)}}\)
Thiết lập 2 biểu thức tg tự vs bộ (b,y,n) và (c,p,z) rồi cộng các vế ta có đpcm. Dấu = xảy ra khi cá biến bằng nhau.
P/s: Thắng Nguyến: Holder chỉ dùng với các số ko âm, và ko được học trong chương trình phổ thông
tui xài BĐT C-S mà BĐT này ko cần số dương, tui nói là C-S là 1 trg hp của Holder nhưng với q=p=2 thì nó là C-S thôi
