Question

Cho \(A=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}}\) (100 dấu căn)

Chứng minh rằng A không phải là số tự nhiên.

Answer 1

ta có:

\(\sqrt{2+\sqrt{2}+\sqrt{2}+....+\sqrt{2}}>\sqrt{1}=1\)

lại có: \(\sqrt{2+\sqrt{2}+\sqrt{2}+....+\sqrt{2}}< \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{4}}}}=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+2}}=2}\)\(\Rightarrow1< \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+....+\sqrt{2}}}}< 2\)

\(\Rightarrow\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}}\) ko phải là STN

Answer 2

Nhìn vào bài dễ thấy, \(A>1\)hay ta chứng minh \(A< 2\)

Vậy: \(\sqrt{2+\sqrt{2}}< \sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2\)

\(\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}< \sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2\)

Nên:

\(A=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}}< \sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2\)

\(\Rightarrow1< A< 2\)hay \(A\neℕ\left(đpcm\right)\)