Đặt \(am^3=bn^3=cp^3=k^3\)
\(\Rightarrow\)\(a=\frac{k^3}{m^3};\) \(b=\frac{k^3}{n^3};\) \(c=\frac{k^3}{p^3}\)
Ta có: \(VT=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\)
\(=\sqrt[3]{\frac{k^3}{m^3}}+\sqrt[3]{\frac{k^3}{n^3}}+\sqrt[3]{\frac{k^3}{p^3}}\)
\(=\frac{k}{m}+\frac{k}{n}+\frac{k}{p}=k\left(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{p}\right)=k\)
\(VP=\sqrt[3]{am^2+bn^2+cp^2}\)
\(=\sqrt[3]{\frac{k^3}{m}+\frac{k^3}{n}+\frac{k^3}{p}}\)
\(=\sqrt[3]{k^3\left(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{p}\right)}\)
\(=\sqrt[3]{k^3}=k\)
suy ra: đpcm
bài này ở trong Sách nâng cao và phát triển toán 9 tập 1 của ông Vũ Hữu Bình ý
Áp dụng BĐT Holder ta có:
\(\left(am^2+bn^2+cp^2\right)\left(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{p}\right)\left(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{p}\right)\)
\(\ge\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\right)^3\)
Suy ra ĐPCM
Dấu "=" xảy ra khi \(am^3=bn^3=cp^3\)
