Question

Cho \(A=\left(2^9\right)^{1945}\)và \(S\left(A\right)=a;S\left(a\right)=b;S\left(b\right)=c\).Tìm c

(\(S\left(m\right)\)là ký kiệu tổng các chữ số của số m)

Answer 1

Vì : \(2^3< 10\Rightarrow A< 10^{5835}\)

Suy ra \(a\le9\times5835=52515\). Suy ra \(b\le5+4\times9=41\)

Do đó , \(c\le4+9=13\)

Mặt khác \(A\equiv a\equiv b\equiv c\left(mod9\right)\). Vì \(2^3\equiv\left(-1\right)\left(mod9\right)\) nên \(A\equiv\left(-1\right)\left(mod9\right)\)

Vậy : \(c\equiv8\left(mod9\right)\) hay \(c=8\).

Answer 2

Vì \(2^3\equiv-1\left(mod9\right)\Rightarrow\left(2^3\right)^{3\cdot1945}\equiv-1\left(mod9\right)\)

Vậy \(\left(2^9\right)^{1945}\equiv9\left(mod9\right)\)

Kí hiệu S(m) là tổng các chữ số m

=> S(a); S(b) chia cho 9 cũng dư 8

Có: \(2^{13}=8192< 10^4\Rightarrow2^{130}< 10^{40}\)nên \(\hept{\begin{cases}2^{17420}< 10^{40\cdot134}\\\left(2^{13}\right)^6< 10^{24}\\2^7< 10^3\end{cases}}\)

Vậy \(\left(2^9\right)^{1945}=2^{17420+13\cdot6+7}< 10^{5391}\Rightarrow\left(2^9\right)^{5391}\)có không quá 5391 chữ số. Lại có:

\(a=S\left(\left(2^9\right)^{1945}\right)\le5391\cdot9=48519\)

\(b=S\left(a\right)\le3+9+9+9+9=39\)

\(c=S\left(b\right)\le12\)

\(\Rightarrow S\left(b\right)=8\)hay c=8

Vậy c=8