Question

Cho \(a\ge b\ge c\ge1\)\(Cmr\frac{1}{1+a^3}\)\(+\frac{1}{1+b^3}+\frac{1}{1+c^3}\ge\frac{1}{1+abc}\)

Answer 1

Vì \(a\ge b\ge c\ge1\) ta có bổ đề

\(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\)

Lợi dụng cái trên ta được

\(\frac{1}{1+a^3}+\frac{1}{1+b^3}+\frac{1}{1+c^3}+\frac{1}{1+abc}\)

\(\ge\frac{2}{1+\sqrt{a^3b^3}}+\frac{2}{1+\sqrt{abc^4}}\ge\frac{4}{1+\sqrt[4]{a^4b^4c^4}}=\frac{4}{1+abc}\)

PS: Đề sai nên t sửa luôn đề rồi nhé

\(\Rightarrow\frac{1}{1+a^3}+\frac{1}{1+b^3}+\frac{1}{1+c^3}\ge\frac{3}{1+abc}\)