Question

Cho \(A=\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{7^2}+...+\frac{1}{100^2}\)

Chứng minh rằng: \(\frac{1}{6}< A< \frac{1}{4}\)

GIÚP MÌNH VỚI! MÌNH ĐANG CẦN GẤP!

Answer 1

Bài làm:

Xét: \(\frac{1}{5^2}>\frac{1}{5.6}\) ; \(\frac{1}{6^2}>\frac{1}{6.7}\) ; ... ; \(\frac{1}{100^2}>\frac{1}{100.101}\)

=> \(A>\frac{1}{5.6}+\frac{1}{6.7}+...+\frac{1}{100.101}\)

\(=\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+...+\frac{1}{100}-\frac{1}{101}\)

\(=\frac{1}{5}-\frac{1}{101}=\frac{96}{505}>\frac{1}{6}\) (1)

Lại có: \(\frac{1}{5^2}< \frac{1}{4.5}\) ; \(\frac{1}{6^2}< \frac{1}{5.6}\) ; ... ; \(\frac{1}{100^2}< \frac{1}{99.100}\)

=> \(A< \frac{1}{4.5}+\frac{1}{5.6}+...+\frac{1}{99.100}\)

\(=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)

\(=\frac{1}{4}-\frac{1}{100}< \frac{1}{4}\) (2)

Từ (1) và (2) => \(\frac{1}{6}< A< \frac{1}{4}\)